La matriz es $\mathbf{A}=\bigl[a_{ij}\bigr]_{1\leqslant i,j\leqslant n}$ y se define como sigue:
$$a_{ij}= \begin{cases} i\; \mbox{if } i = j,\\ n\; \mbox{otherwise.} \end{casos} $$ o $$\mathbf{A}= \begin{bmatrix} 1 & n & \ldots & n\\ n & 2 & \ldots & n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ n & n & \ldots & n\\ \end{bmatrix}$$
He probado uno por uno, para $n=1,2,3,$ $4$ y he encontrado una fórmula como:
$$\det(\mathbf{A})=(-1)^{n+1}\cdot n!.$$
Yo no podía probar por inducción.
$$L_n\leftarrow L_n-L_1$$ y se puede conseguir que la $$\det A=(-1)^{n-1}(n-1)\left|\begin{matrix}n&n&...&n\\n&2&...&n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\n&...&n-1&n\\\end{matrix}\right|=(-1)^{n-1}(-1)^{n-2}(n-1)\left|\begin{matrix}2&n&...&n\\n&3&...&n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\n&...&n&n\\\end{matrix}\right|=-(n-1)\left|\begin{matrix}2&n&...&n\\n&3&...&n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\n&...&n&n\\\end{matrix}\right|=(-1)^2(n-1)(n-2)\left|\begin{matrix}3&n&...&n\\n&4&...&n\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\n&...&n&n\\\end{matrix}\right|=...=(-1)^n n!.$$
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