Desviación Negativa

Question

Tengo dos variables independientes $X$$Y$.

$W=X-Y$ al $X\sim $Bernoulli$(1/2)$$Y\sim N(0,1)$. Esto pone a $Var(x)=1/4$$Var(Y)=1$, pero tengo que ser malentendido algo porque si $Var(W)=Var(X)-Var(Y)$ $Var(W)$ es negativo, que no tiene ningún sentido.

Lo que me estoy perdiendo?

Answer 1

La cosa está mala se que $Var(X-Y)\not=Var(X)-Var(Y)$
La fórmula exacta es $Var(W)=Var(X-Y)=Var(X)+Var(Y)$

Answer 2

Si $U$ $V$ son independientes, entonces la $\text{Var}(aU+bV)=a^2\text{Var}(U)+b^2\text{Var}(V)$. En nuestro caso, la varianza de las $X-Y$, es decir, de $(1)X+(-1)Y$, es la varianza de $X$ más de la varianza de la $Y$.

Answer 3

La varianza no es un mapeo lineal. Al $X$ $Y$ son independientes (o, más en general no correlacionados), $\operatorname{Var}(X+Y)=\operatorname{Var}(X)+\operatorname{Var}(Y)$. Aquí se debe aplicar esta notando que $X-Y=X+(-Y)$$\operatorname{Var}(-Y)=\operatorname{Var}(Y)$.