Esta es, probablemente, un poco aburrido y ridículo noob la pregunta, así que disculpas de antemano, pero:
Lo es todo en matemáticas esencialmente construido en sumar, restar, multiplicar y dividir? Son ellos los primeros principios en los que todo lo demás se construye?
De verdad que no. Para una cosa, antes de que usted puede "añadir", "resta", "multiplicar", y "dividir", usted tiene que tener algo que está "agregar", "resta", "multiplicar", o "dividir." Así que "algo" tiene que preceder a estas operaciones. Y por el otro, hay muchas nociones que no pueden ser expresados en estos términos. Para tomar un familiar si has hecho el Cálculo, la idea de "límite" no es uno que puede ser expresado en términos de la suma, resta, multiplicación o división, sino más bien se expresa en términos de "acercarse", o de "ser arbitrariamente cerca". (Esta es una razón por la que Newton y Leibniz son tan justamente aclamado como revolucionarios: las ideas de Cálculo fueron muy a diferencia de lo que las matemáticas que había sido hasta ese momento.)
Sin embargo, uno tiene que empezar en algún lugar. Históricamente, las matemáticas comenzó desde diferentes puntos de partida en las diferentes culturas; contar era sin duda una de las primeras cosas que se nos viene encima. Pero algunas culturas, a continuación, se dio cuenta de que se necesita algo más general de las ideas que iban más allá de simplemente contar (con su adición, multiplicación, etc). Los griegos se asentaron en la geometría como en su estructura subyacente, y en el hecho de traducir todo acerca de los números en las declaraciones acerca de la geometría: líneas, puntos, círculos, cuadrados, etc. Otras culturas no lo hizo.
En estos días solemos tomar el camino de la axiomática de las teorías, donde tenemos algunos "primitivas nociones" que no están definidos, y algunas reglas acerca de cómo podemos hablar de ellos y de sus propiedades, y, a continuación, tratamos de construir todo en la parte superior de eso. Uno puede empezar a partir de los números naturales (el "conteo de números") utilizando, por ejemplo, los axiomas de Peano, y empezar a construir desde allí. Entonces usted realmente están empezando antes de llegar a "adición", "multiplicación", "resta", y "división", con sólo la noción de "número", "siguiente", y la inducción. O podemos tener otros puntos de partida.
Ahora, hoy, es normalmente uno de los dos puntos de partida: la Teoría de conjuntos, y a la Categoría de Teoría. Tanto presumir de que estamos de acuerdo en los fundamentos de la lógica (en el sentido de las cosas como "y", "o", "si..., entonces...", y "no", en el sentido de "es igual a", y cosas por el estilo); y las reglas de inferencia, que son reglas que permiten ir desde algunas de las declaraciones de los demás; por ejemplo, la regla que dice que si usted sabe que Una implica B, y también sabe que a es verdadero, entonces usted sabe que B es verdadero.
En la Teoría de conjuntos, se empieza con la idea de "conjunto" y "elemento"; estas ideas son, en realidad, no definido, que acaba de dar algunos axiomas que describen cosas que se pueden decir acerca de ellos. A partir de estos axiomas, uno puede definir números, suma, multiplicación, etc. Y también construir otras nociones que son ortogonales a los números naturales y sus operaciones habituales.
En la Categoría de Teoría, se empieza con la idea de "objetos" y "mapas" de los objetos (de nuevo, no se define; usted consigue solamente algunos axiomas que decirle cómo se puede hablar de ellos); a continuación, puede utilizar estos conceptos para construir todo lo demás en términos de ellos.
Así que, más bien, en las matemáticas modernas, todo está bien "conjuntos de todo el camino hacia abajo", o todo es "categorías de todo el camino hacia abajo". Si hay un conjunto de presuposiciones, es sólo lógica básica.
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