Lo errores, si los hubiere, se realizaron en Numberphile prueba de que el $1+2+3+\cdots=-1/12$?

Question

Esto no es un duplicado de la pregunta, ya que estoy en busca de una explicación dirigida a un público general como a los errores (si los hay) en Numberphile de la prueba (reproducido a continuación). (Numberphile es un canal de YouTube dedicado al pop-matemáticas y este video en particular ha recibido más de 3m vistas).

Por la audiencia en general, me refiero al mismo tipo de público como de los millones que ven Numberphile. (Lo que significaría que, idealmente, haciendo poca o ninguna mención de las cosas que el público en general nunca han oído hablar de - por ejemplo, Riemann zeta funciones, analítica continuaciones, las fuerzas de Casimir; y evitar tácticas como atractivo el hecho de que los físicos y los otros la gente inteligente se utiliza en la teoría de cuerdas, así que por lo tanto debe ser correcta).

Numberphile de la Prueba.

La prueba se procede a evaluar cada uno de los siguientes:

$S_1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots$

$S_2 = 1 - 2 + 3 - 4 + \ldots $

$S = 1 + 2 + 3 + 4 + \ldots $

"Ahora, la primera es realmente fácil evaluar ... de parar en cualquier momento. Si se detiene en una extraña punto, vas a obtener la respuesta $1$. Si se detiene en un punto, se obtiene la respuesta $0$. Claramente, eso es obvio, ¿no? ... Entonces, ¿qué número vamos a adjuntar a esta suma infinita? Hacemos parada en un par o impar? No lo sabemos, así que nos tomamos el promedio de los dos. Así que la respuesta del medio."

Siguiente:

$S_2 \ \ = 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots$

$S_2 \ \ = \ \ \ \ \ \ \ 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots$

La adición de las dos líneas anteriores, obtenemos:

$2S_2 = 1 - 1 + 1 - 1 + \cdots$

Por lo tanto, $2S_2=S_1=\frac{1}{2}$$S_2=\frac{1}{4}$.

Por último, tome la

\begin{align} S - S_2 & = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots \\ & - (1 - 2 + 3 - 4 + \cdots) \\ & = 0 + 4 + 0 + 8 + \cdots \\ & = 4 + 8 + 12 + \cdots \\ & = 4S \end{align}

Por lo tanto $-S_2=3S$ o $-\frac{1}{4}=3S$.

Y así $S=-\frac{1}{12}$. $\blacksquare$

Answer 1

Las operaciones con series no son legítimos. En la matemática moderna, lo que significa que una serie para tener una cantidad es lo suficientemente clara.

Si el autor desea operar de la serie ad hoc , entonces él o ella es responsable de la creación de un nuevo conjunto de axiomas para justificar las operaciones. Porque, si no, a continuación, una serie puede admitir dos cantidades diferentes, lo que hace que la teoría de la serie de opinión.

El proceso de la operación muy interesante, que es como decir que el $\infty - \infty = 0$. Las personas que convencerse de que esto es válido olvidar que la operación de resta, por definición, no comen $\infty$ a todos. Si, por alguna razón, no quiere escribir $\infty - \infty = 0$, entonces él o ella debe dar una definición razonable de la resta.

Answer 2

La primera (y fatal) error es el argumento de que $S_1=1/2$. Eso simplemente no es lo que la definición de una infinita suma es; la definición es como un límite. Para mostrar que $S_1=1/2$ (frente a no existir en absoluto), usted tiene que demostrar que el límite de las sumas parciales es $1/2$; usted no sólo les permite hacer lo plausible de sonido argumento que usted desea.

Sin embargo, creo que hay un mayor momento de enseñanza aquí, que es la que en última instancia, nos permite hacer cualquier tipo de definiciones que queremos en matemáticas (siempre que comunique claramente a los demás lo que nuestras definiciones son). En particular, se podría pensar que la incapacidad para decir que $S_1=1/2$ es un fallo con la definición estándar de infinitas sumas de dinero, por lo que debe hacer uno mejor. Tal vez usted no sabe cómo dar una completamente definición precisa de lo que su mejor definición de infinito sumas debe ser, pero usted puede escribir algunas de las propiedades que debe tener. Tal vez uno de ellos es que si las sumas parciales ir y venir entre dos números, el infinito suma debe ser el promedio de ellos. Usted puede ir con cuidado a través de la argumentación y escribir una lista de axiomas que infinitas sumas que se deben satisfacer para que el argumento para ir a través de (entre ellos se encuentran: una suma no cambia cuando cambias de sus sumandos a la derecha y puso un $0$ al principio, si se agregan los términos de la suma de dos juntos, a continuación, obtener una nueva suma cuyo valor es la suma de los valores de los dos originales de sumas de dinero, etc.).

Al final, consigue una prueba válida que la de cualquier noción de "suma infinita" satisfacción razonable de apariencia de axiomas, la suma de $1+2+3+\dots$ debe ser igual a $-1/12$. En este punto, usted puede señalar otro razonables axioma de las sumas, que es una suma infinita, en la que todos los términos son positivos, debe ser positiva. Si agrega este axioma, usted ha llegado a una contradicción. Así, se ha demostrado que su aparentemente razonable de la lista de axiomas (incluyendo esta última) es contradictoria en sí misma: es decir, que no es posible la definición de "suma infinita" que puede satisfacer todas sus axiomas. Esta es una buena evidencia de que tal vez algunos de sus axiomas no son tan razonables como pensaba, y tal vez usted debe atenerse a la definición estándar. (Pero vea también marty cohen respuesta, en la que echar por la borda el último axioma y todavía puede venir para arriba con una definición que satisfaga a los otros axiomas.)

Answer 3

He argumentado que este con los demás, sin éxito, pero yo soy un masoquista.

Usted puede probar cualquier cosa, desde una falsa hipótesis y

$S_1 = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots$

es una falsa hipótesis.

La suposición es que el $S_1$ es un número real y que $1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots$ es el mismo número real. Convergente la serie son muy rigurosamente definidas y $1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ldots$ no es uno.

Answer 4

La teoría de la la asignación de un valor para una serie que normalmente se considera a la divergencia de los se llama el estudio de "Divergente la Serie".

G. H. Hardy escribió un libro bien conocido con este título.

Una manera simple para asignar un valor es una serie que converge para una gama limitada de su parámetro, y vea lo que sucede cuando se asigna un valor en los que la serie no converge.

Por ejemplo: $\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^nx^n =\frac1{1+x} $. Si establecemos $x=1$, tenemos $1-1+1-1+1... = \frac12 $. Si establecemos $x=2$, tenemos $1-2+4-8+16... = \frac13 $.

Hay muchos temas más avanzados en este campo. Ramanujan hizo un montón.

Puede ser divertido.