Celosía en un espacio vectorial de dimensión 2 sobre un valoran campo.

Question

Estoy leyendo "Arbres, amalgames et SL2" de J. P. Serre, y algo no está claro para mí, pero es a él :)

Deje $k$ ser un campo, con una discreta valoración $v$, es decir, un grupo de epimorphism $v:k^\ast \to \mathbb{Z}$ tal que $\forall x,y \in k, v(x+y) \leq min(v(x),v(y))$ $v(0)=\infty.$

Deje $A$ ser la valoración anillo de $\lbrace x \in k, v(x) \geq0 \rbrace$, pick $\pi \in k$ tal que $v(\pi)=1$.

Deje $V$ dos dimensiones de espacio vectorial sobre $k$.

Un entramado en $V$ es un sub-$A$-módulo finitely generado que abarca $V$ $k$ espacio vectorial, él es libre de rango 1.

Serre dice que si $L_1, L_2$ son dos celosías, existe un $A$base $\lbrace e_1,e_2\rbrace$$L$, y enteros $a,b$ tal que $\lbrace\pi^a e_1,\pi^be_2\rbrace$ $A$- base de $L_2$. Viene de la teoría de primaria divisores, él dice. Alguien puede explicar algo en claro? Parece muy intuitivo, pero necesito somethinga poco formal.

Muchas gracias!

Answer 1

En primer lugar, un teorema acerca de finitely libres generados por los módulos a través de un director ideal de dominio $A$: si $L$ es un finitely libres generados por $A$-módulo, a decir de la fila $n$, con una opción de base $\{e_1,\ldots,e_n\}$,, $L^\prime\subseteq L$ $A$- submódulo, entonces existe un número entero $m$, $0\leq m\leq n$, y distinto de cero elementos $a_1,\ldots,a_m\in A$, de tal manera que $\{a_1e_1,\ldots,a_me_m\}$ es una base para $L^\prime$. Esto es a veces (generalmente?) demostrado a lo largo de la manera de probar que la estructura teorema de finitely generadas $A$-módulos.

Bien, ahora, en su configuración, $A$ es un discreto anillo de valoración, en particular, de un PID, pero especialmente agradable, en la que, hasta unidades, tiene un único primer elemento $\pi$ (un elemento normalizados de valoración igual a $1$). Deje $\{e_1,e_2\}$ $A$- base para $L_1$ y elija una $A$base $\{f_1,f_2\}$$L_2$. La escritura de cada una de las $f_i$ $k$- combinación lineal de las $e_i$ (lo que puede hacer, ya que $\{e_1,e_2\}$ $k$- base para $V$ por la definición de una red, ya que cada elemento de a $k$ es un elemento de $A^\times$ multiplicado por una potencia entera de $\pi$, uno ve que para algunos entero $n\geq 0$, $\pi^n f_1,\pi^n f_2\in L_1$, y, por tanto,$\pi^n L_2\subseteq L_1$. Ahora, por el teorema anterior, hay distinto de cero elementos $\pi^au,\pi^b v\in A$ ( $u,v\in A^\times$ ) tal que $\{\pi^a ue_1,\pi^b ve_2\}$ $A$- base para $\pi^n L_2$.

Por último, si dejamos $e_1^\prime=ue_1,e_2^\prime=ve_2$, $\{e_1^\prime,e_2^\prime\}$ $A$- base para $L_1$, e $\{\pi^{a-n}e_1^\prime,\pi^{b-n}e_2^\prime\}$ $A$- base para $L_2$, como se desee.