La intuición para $e^{ix}$ se encuentra en el círculo unidad.

Question

Yo sé que para cualquier $x$, el número complejo a $e^{ix}$ tienen que estar en el círculo unidad, porque si graficamos los puntos de $\cos x + i\sin x$ por cada $x$, finalmente se forma un círculo.

¿Hay algún enfoque más intuitivo sobre el por qué de $e^{ix}$ se encuentra en el círculo unidad?

Answer 1

He aquí una perspectiva que me gusta: considere la función $f:\Bbb R \to \Bbb C$$f(t) = e^{it}$, y tenga en cuenta que podemos pensar de $\Bbb C$ como un espacio de dos dimensiones (es decir, $\Bbb C$ es isométrica $\Bbb R^2$). Ahora, tomamos nota de que, si se aplican las reglas habituales de cálculo, se han $$ \frac {df}{dt} = i\,e^{it} $$ Ahora, vamos a dividir esta función en sus partes real e imaginaria. Que es, decir que $$ f(t) = f_R(t) + i f_I(t) $$ donde $f_R(t),f_I(t) \in \Bbb R$. Equivalentemente, podemos pensar de $f(t) = (f_R(t),f_I(t))$ como trazar una trayectoria en $\Bbb R^2$. A lo largo de estas líneas, hemos $$ f'(t) = si(t) = i[f_R(t) + i f_I(t)] = -f_I(t) + if_R(t) $$ Equivalentemente, podemos ver que cuando seguimos la trayectoria de $f(t)$, su vector tangente a los puntos en la dirección de la $(-f_I(t),f_R(t))$.

Nota: no asumiendo la fórmula de Euler, que nos diría que $f_R(t) = \cos(t)$$f_I(t) = \sin(t)$.

Ahora, hacemos uso de un práctico hecho:

Para $\alpha: \Bbb R \to \Bbb R^2$, tenemos $$ \frac{d}{dt}\|\alpha(t)\|^2 = \frac{d}{dt} \langle \alpha(t),\alpha(t) \rangle = 2 \langle \alpha'(t), \alpha(t) \rangle $$ donde $\langle \cdot,\cdot \rangle$ denota la habitual "producto escalar".

Con esto, podemos ahora concluir que $$ \frac {d}{dt} |f(t)|^2 = \langle (f_R(t),f_I(t)), (-f_I(t),if_R(t)) \rangle = 0 $$ Que es: debido a que $f'(t)$ puntos en una dirección ortogonal a la posición $f(t)$ (respecto al origen), la magnitud de $f(t)$ (es decir, su distancia desde el origen) se mantiene constante.

Ahora, desde la $|f(0)| = |e^0| = 1$, podemos concluir que para cualquier $t$, $|f(t)| = 1$. Es decir, $f(t)$ traza una trayectoria en el círculo unidad. Esto es, para cualquier $t$, $e^{it}$ es en el círculo unidad, que es lo que queríamos demostrar.

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Es de destacar que a partir de aquí, podemos ver que $|f'(t)| = \|\alpha'(t)\| = 1$, lo cual nos dice que la unidad de círculo se traza una unidad de longitud por unidad de longitud en $t$, lo cual es suficiente para nosotros para deducir la fórmula de Euler en su forma completa.

Answer 2

Creo que no hay ninguna la intuición - simplemente es.

Una vez $e^{ix} = \cos(x)+i\sin(x)$ se ha establecido es obvio, pero hasta entonces, no.

En mi opinión, ninguna de las respuestas aquí que intento producir una razón intuitiva requieren de razonamiento más avanzadas que se derivan De Euler (o de d'Alembert) la leche de fórmula.

Answer 3

Depende a lo que te refieres por el símbolo $e^{ix}$ para todos los verdaderos $x$. Una forma de introducir este símbolo es el uso de la definición $$e^{z} = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{z}{n}\right)^{n}, z\in\mathbb{C}\tag{1}$$ and in particular if $z = ix, x \in\mathbb{R}$ then $$f(x) = e^{ix} = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{ix}{n}\right)^{n}\tag{2}$$ We can now prove easily that $|f(x)| = 1$ for all $x \in \mathbb{R}$. It is in fact better to show equivalently that $|f(x)|^{2} = 1$ for all $x \in \mathbb{R}$. Esto lo hacemos de la siguiente.

Claramente $$|f(x)|^{2} = \lim_{n \to \infty}\left|1 + \frac{ix}{n}\right|^{2n} = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{x^{2}}{n^{2}}\right)^{n}\tag{3}$$ Now as $n \to \infty$ it is clear that after some value of $n$ we have $|x/n| < 1$ and hence by Bernoulli's inequality we have $$1 - n\cdot\frac{x^{4}}{n^{4}}\leq \left(1 - \frac{x^{4}}{n^{4}}\right)^{n} \leq 1$$ and hence by Squeeze theorem we have $$\lim_{n \to \infty}\left(1 - \frac{x^{4}}{n^{4}}\right)^{n} = 1\tag{4}$$ Similarly we can show that $$\lim_{n \to \infty}\left(1 - \frac{x^{2}}{n^{2}}\right)^{n} = 1\tag{5}$$ Dividing equation $(4)$ by equation $(5)$ we get $$\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{x^{2}}{n^{2}}\right)^{n} = 1$$ and thus by equation $(3)$ we conclude that $|f(x)|^{2} = 1$ for all real $x$. It follows that the complex number $f(x) = e^{ix}$ lies on the unit circle $|z| = 1$ for all real $x$.

Nota además que el argumento de $f(x)$ pueden ser manejados más fácilmente. Claramente se puede ver que $$\operatorname{arg}f(x) = \lim_{n \to \infty}n\arctan(x/n) = x$$ and thus it is clear that $f(x) = e^{ix} = \cos x + i\sin x$. See this answer for another proof of $f(x) = \cos x + i\sin x$.

Answer 4

Usted sólo puede calcular directamente, usando el poder de las leyes y el hecho de que $\overline{\mathrm e^z}=\mathrm e^{\overline z}$: $$\left|\mathrm e^{\mathrm ix}\right|^2 = \mathrm e^{\mathrm ix}\,\overline{\mathrm e^{\mathrm ix}} = \mathrm e^{\mathrm ix}\mathrm e^{-\mathrm ix} = \mathrm e^{\mathrm ix-ix} = \mathrm e^0 = 1$$

Sobre el por qué de $\overline{\mathrm e^z}=\mathrm e^{\overline z}$:

Existen varias definiciones de $\mathrm e^x$, de modo que los detalles difieren, pero el tema común es el mismo: $z$ es el único complejo de la cantidad en la definición.

1. La definición de la serie: $$\mathrm e^z = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$$ Tenga en cuenta que $k!$ es un número real por cada $k$, $\overline{x+y}=\overline x+\overline y$ y $\overline{x\cdot y}=\overline x\cdot\overline y$. Desde $z$ es el único complejo de la cantidad en la definición, la relación se mantiene para las sumas parciales: $$\overline{\sum_{k=0}^n \frac{z^k}{k!}}=\sum_{k=0}^n \frac{\overline z^k}{k!}$$ Y desde $\overline z$ es continuo, lo mismo vale para el límite.

2. El límite de la definición de $$\mathrm e^z = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n$$ De nuevo, $z$ es la única cantidad que no es real, y para cada una de las $n$, la expresión bajo el límite se construye sólo a partir de sumas y productos (tenga en cuenta que $\frac{z}{n}=\frac{1}{n}\cdot z$ donde $\frac1n$ es real, y que $x^n=x\cdot x\cdots x$), por lo tanto $$\overline{\left(1+\frac{z}{n}\right)^n}=\left(1+\frac{\overline z}{n}\right)^n.$$ And again, the same holds for the limit because $\overline z$ es continua.