Por favor, ayúdenme con este problema de combinación

Question

Demostrar que $\sum\limits_{k = 0}^n k{m \choose k}{n \choose k}= n{m+n-1 \choose n}$

Podemos escribir ${m \choose k} = m!/(m-k)!(k)!$ de forma similar ${n \choose k}$ y ${m+n-1 \choose n}$ también se puede escribir, pero no sé cómo seguir adelante.

Answer 1

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[8px,border:1px groove navy]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} \sum_{k = 0}^{n}k{m \choose k}{n \choose k} & = \sum_{k = 0}^{n}k{n \choose k}{m \choose m - k} = \sum_{k = 0}^{n}k{n \choose k}\bracks{z^{m - k}}\pars{1 + z}^{m} \\[5mm] & = \sum_{k = 0}^{n}k{n \choose k}\braces{\vphantom{\Large A}\bracks{z^{m}}z^{k}\pars{1 + z}^{m}} = \bracks{z^{m}}\braces{\vphantom{\Large A}\pars{1 + z}^{m}\overbrace{\sum_{k = 0}^{n}{n \choose k}kz^{k}} ^{\ds{nz\,\pars{1 + z}^{n - 1}}}} \\[5mm] & = n\bracks{z^{m - 1}}\pars{1 + z}^{m + n - 1} = \bbx{\ds{n\,{m + n - 1 \choose m - 1}}} \end{align}

Answer 2

Para una prueba combinatoria:

Que haya $m$ bolas rojas etiquetadas y $n$ bolas azules etiquetadas en una urna. Queremos contar de cuántas formas podemos sacar $n$ bolas de colores potencialmente mezclados y después colocamos en nuestra mano una de las bolas azules de las que habíamos dejado.

A la izquierda, divida los casos en función del número de bolas rojas seleccionadas, $k$ . Elige cuál $k$ se sacaron bolas rojas, elige cuál $k$ se dejaron bolas azules ( eligiendo así cuál $n-k$ bolas azules fueron tomadas ). A partir de ahí, elige qué bola azul específica de las que quedan se colocó en la mano. Así se obtiene la cantidad $\sum\limits_{k=0}^nk\binom{m}{k}\binom{n}{k}$

A la derecha, coge primero la bola azul especial. Luego coge la $n$ bolas de las que quedan. Esto da $n\binom{m+n-1}{n}$

Como los dos métodos cuentan correctamente el mismo escenario, deben ser iguales.

Answer 3

Pista:

$$\sum_{k=0}^nk\binom{m}{k}\binom{n}{k}=n\sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}\binom{m}{m-k}$$

Ahora usa la Identidad de Vandermonde.

Answer 4

Fíjese en el coeficiente de $x^n$ en el producto $((1+x)^m)'(1+x)^n$ e intentar calcularla de otro modo.

Answer 5

Sea $$ S=\sum_{k=0}^{n} k {n \choose k} {m \choose k}$$ Diferenciando la serie binómica tenemos $$nx(1+x)^{n-1}= \sum_{k=0}^{n} k {n \choose k} x^k.~(1)$$ $$\left(1+\frac{1}{x}\right)^m=\sum_{k=0}^{m} {m \choose k} \frac{1}{x^k}~(2)$$ Al multiplicar (1) y (2) y recoger sólo los términos constantes, obtenemos $$ S=[x^0] nx\frac{(1+x)^{n+m-1}}{x^m} \implies S=[x^{m-1}]~ n(1+x)^{n+m-1}.$$ $$S=n {m+n-1 \choose m-1}$$ $[x^j]~ f(x)$ significa coeficiente de $x^j$ en $f(x)$