Falta del índice de Maslov en el formalismo de la integral de trayectoria

Question

Introducción

Consideremos la famosa fórmula de la integral de trayectoria de Feynman

\begin{equation} K(x_a,x_b) = \int \mathcal{D}[x(t)] \exp \left[ \frac{i}{\hbar} \int_{t_a}^{t_b} dt \, \mathcal{L}(x(t),\dot{x}(t),t) \right] \, , \end{equation}

donde el $\mathcal{D}[x(t)]$ representa la matemáticamente problemática "suma sobre caminos" y $x_a \equiv x(t_a)$ , $x_b \equiv x(t_b)$ . El límite semiclásico de la expresión anterior, que puede definirse como el límite $\hbar \to 0$ puede aproximarse por el método del punto de silla y da como resultado

\begin{equation} K_{SC}(x_a,x_b) = \left( \frac{1}{2 \pi i \hbar} \right)^{-\frac{n}{2}} \sum_{branches} \bigg| \det \frac{\partial x_b}{\partial p_a} \bigg|^{-\frac{n}{2}}\exp \left[\frac{i}{\hbar} S(x_a,x_b,t) \right] \, , \end{equation}

donde $SC$ significa semiclásico , $S$ es la acción clásica, $n$ es la mitad de la dimensión del espacio de fase, $p_a$ es el momento inicial y la suma es sobre todas las "ramas" parcheadas por puntos donde $\dot{x}(t)=0$ (estos puntos son ejemplos de lo que llamamos cáusticas ). Ahora bien, numerosos estudios realizados por físicos en el pasado han establecido que esta fórmula no puede ser correcta para todos los tiempos, incluso para Hamiltonianos cuadráticos, donde la aproximación semiclásica debería ser exacta. La razón rigurosa para ello se expuso por primera vez en (1) y tiene que ver con la teoría de la cohomología: el Parcheando de los submanifolds lagrangianos entre cáusticas va acompañado de un salto en el determinante al cuadrado del mapeo, que está intrínsecamente relacionado con el índice de Morse (o Maslov) que actúa sobre el grassmanniano lagrangiano.

Ahora bien, dado que el propagador semiclásico puede derivarse a partir de formalismos más rigurosos que la integral de trayectoria, la forma propia de $K_{SC}$ ha sido obtenida por Gutzwiller (2) y rigurosamente justificada por muchos otros matemáticos (véase (1) de nuevo). Es

\begin{equation} K_{SC}(x_a,x_b) = \left( \frac{1}{2 \pi i \hbar} \right)^{-\frac{n}{2}} \sum_{branches} \bigg| \det \frac{\partial x_b}{\partial p_a} \bigg|^{-\frac{n}{2}}\exp \left[\frac{i}{\hbar} S(x_a,x_b,t) - \frac{i \pi \nu}{2} \right] \, , \end{equation}

donde $\nu$ es el índice de Maslov, relacionado con la clase de cohomología de las trayectorias consideradas. Se trata de un célebre resultado denominado Fórmula de Gutzwiller .

Pregunta

Si consideramos los puntos $x_a$ y $x_b$ donde $p$ es una función de valor único de $x$ entonces el determinante en $K_{SC}$ no tiene saltos, estamos lejos de las cáusticas y el índice de Maslov es cero. Ahora bien, si $p$ es multivaluada tenemos que tener en cuenta las ramas, que Creo que no puede derivarse directamente de la integral de trayectoria de Feynman. Esto significa que para todos y cada uno de los sistemas en los que las trayectorias clásicas tienen un grupo de cohomología no trivial, la integral de trayectoria es errónea. Ahora bien, el ejemplo más ridículo de esto sería el oscilador armónico, cuyo propagador cuántico exacto (idéntico a su aproximación semiclásica, porque el hamiltoniano es cuadrático) puede verse aquí . Ahora bien, si mi razonamiento es correcto, entonces este propagador es erróneo. He consultado Feynman & Hibbs y hay una nota a pie de página que dice que este propagador es efectivamente erróneo para tiempos largos, es decir, después de que el momento tenga una cáustica. Hacen referencia a un artículo que más o menos adivina la respuesta correcta (3).

Mi pregunta es: ¿se puede derivar la fórmula de Gutzwiller adecuada de la integral de trayectoria de Feynman? Si no es así, entonces todos y cada uno de los propagadores calculados a partir de la fórmula de la integral de trayectoria serán erróneos para Hamiltonianos con potenciales no lineales.

P.D.: Tengo la sensación de que esto está relacionado con el hecho de que aunque los físicos digan que "la integral de trayectoria suma sobre todas las trayectorias", no suma sobre trayectorias con diferentes clases de cohomología.

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Referencias:

(1) Clase característica que entra en condiciones de cuantificación, por Vladimir Arnol'd

(2) Caos en la mecánica clásica y cuántica, por Martin Gutzwiller

(3) Propagador para el oscilador armónico simple, por Thorber y Taylor, American Journal of Physics.

Answer 1

1. Aparte de una prueba completa de la Fórmula de Gutzwiller en el contexto de la Integral de trayectoria de Feynman (FPI), entonces OP está esencialmente preguntando lo siguiente:

   ¿Conoce el FPI el corrección metapléctica / Índice Maslov y cáusticas?

   Contesta: Sí, el FPI contiene estos factores de fase semiclásicos.

2. En la práctica, dejemos que $$\Delta t_M~:=~t_f-t_i~>~0.\tag{1}$$ Para que el FPI oscilatorio sea convergente, inserte la de Feynman $i\epsilon$ prescripción $$\Delta t_M\quad\to\quad\Delta t_M-i\epsilon.\tag{2}$$ O lo que es lo mismo, Wick-rotate $$\Delta t_E~:=~i\Delta t_M,\tag{3}$$ donde ${\rm Re}(\Delta t_E)>0$ . Aquí las letras $M$ y $E$ significa Minkowski y Euclides, respectivamente.

3. Para simplificar, supongamos que no hay instantones. El Aproximación WKB/fase estacionaria rendimientos para $\hbar \to 0$ : $$\langle q_f, t_f | q_i,t_i \rangle ~=~ \int_{q(t_i)=q_i}^{q(t_f)=q_f} \! {\cal D}q~\exp\left(\frac{i}{\hbar} S\right) ~\stackrel{\text{WKB}}{\sim}~ \frac{\exp\left(\frac{i}{\hbar} S_{\rm cl}\right)}{\sqrt{{\rm Det}H}}.\tag{4}$$

4. Le Fórmula de Gelfand-Yaglom resulta que el determinante funcional viene dado por $$\frac{{\rm Det}H}{{\rm Det}H^{(0)}}~=~\frac{\prod_{n\in\mathbb{N}}\left(1- \left(\frac{\Delta t_M}{T_n}\right)^2\right)}{\prod_{n\in\mathbb{N}}\left(1- \left(\frac{\Delta t_M}{T_n^{(0)}}\right)^2\right)}, \tag{5}$$ donde $T_n$ denota los tiempos de las cáusticas. Aparecen elevados al cuadrado debido a la simetría tiempo-reflejo. El superíndice $(0)$ denota la teoría libre correspondiente con $T_n^{(0)}=\infty$ y $$ {\rm Det}H^{(0)}~=~ \frac{2\pi i\hbar\Delta t_M}{m} .\tag{6}$$ Por lo tanto $$ {\rm Det}H~\stackrel{(2)+(3)}{=}~ \frac{2\pi i\hbar\Delta t_M}{m} \prod_{n\in\mathbb{N}}\left(1- \frac{\Delta t_M}{T_n}\right)\left(1+ \frac{\Delta t_M}{T_n}\right) .\tag{7}$$

5. El índice de Maslov viene como sigue (teniendo en cuenta que se trata de una continuación analítica a partir del tiempo euclidiano):

   • Obtenemos un factor $$\exp\left(-\frac{i\pi}{4}\right)\tag{8}$$ en el FPI (4) a partir del ${\rm Det}H^{(0)}$ determinante (6).

   • Tenga en cuenta que para $0<\Delta t_M < T_1$ , el producto infinito (7) es positivo, y aún no hemos pasado ninguna cáustica. Sin embargo para cada nueva cáustica $T_n$ (que $\Delta t_M$ pasa), el determinante funcional (7) desarrolla un nuevo valor propio negativo, y obtenemos otro factor $$\exp\left(-\frac{i\pi}{2}\right)\tag{9}$$ en el FPI (4). En otras palabras, el Índice Morse de la pertinente Hessian se vuelve relevante.

6. Ejemplo. Considere la oscilador armónico cuántico (QHO) y con frecuencia característica $$ \frac{2\pi}{T}~=~\omega~=~\sqrt{\frac{k}{m}},\tag{10}$$ y cáusticas $$ T_n ~=~n\frac{T}{2} \tag{11}$$ por cada medio período. En conjunto, el cruce cáustico induce el conocido factor de fase de corrección metapléctica
   $$\exp\left(-\frac{i\pi}{2}\left(\frac{1}{2}+\left[\frac{2\Delta t_M}{T}\right]\right)\right),\tag{12}$$ donde $\left[x\right]$ denota la parte entera de $x$ .

Referencias:

1. R.P. Feynman y A.R. Hibbs, Mecánica Cuántica e Integrales de Trayectoria, 1965; Sección 3-11.

2. J. Polchinski, Teoría de Cuerdas Vol. 1, 1998; Apéndice A.