Mostrar polinomios en $k[x_1, \ldots , x_n]$ son irreducibles

Question

A menudo, cuando deseo mostrar un polinomio concreto en $k[x_1, \ldots ,x_n]$ es irreducible. Suponiendo que el polinomio sea lo suficientemente amigable (es decir, uno que me encontraría como parte de una pregunta que está diseñada para ser respondida...), ¿hay alguna indicación que me puedas dar sobre cómo abordarlo?

Por ejemplo, consideremos el polinomio $f = X_0^8 + X_1^8 + X_2^8 \in k[X_0, X_1, X_2]$ . ¿Por qué es irreductible? En mira (es decir, no sabría cómo factorizarlo), pero obviamente esto no es una prueba (ni siquiera casi una prueba).

Cualquier ayuda será muy apreciada

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que un polinomio homogéneo reducible necesariamente se divide en un producto de factores homogéneos, por lo que puede dividir libremente por una de las variables. Por lo tanto, su polinomio es irreducible si y sólo si $x^8 + y^8 + 1$ es irreducible.

A continuación puedes utilizar el criterio de Eisenstein; piensa en $x^8 + y^8 + 1$ como un polinomio en $x$ con coeficientes en $k[y]$ . Desde $\text{char}(k) \neq 2$ por suposición, el polinomio $y^8 + 1$ es libre de cuadrado, por lo que tiene un factor primo que sólo lo divide una vez (exactamente cuál es este factor depende de $k$ ), y por el criterio de Eisenstein aplicado a este factor primo se llega a la conclusión.

Para polinomios homogéneos en exactamente tres variables también se puede utilizar Teorema de Bézout . Si $k$ es algebraicamente cerrado y $f$ es reducible, entonces $f = 0$ define al menos dos curvas proyectivas en $\mathbb{P}^2$ y por el teorema de Bézout se intersecan. En dicho punto de intersección, todas las derivadas parciales de $f$ será igual a cero (ejercicio). Así que si usted puede demostrar que no existe tal punto, entonces $f$ debe ser irreducible. En este caso, las derivadas parciales son $8X_0^7, 8X_1^7, 8X_2^7$ que no puede ser cero simultáneamente si $\text{char}(k) \neq 2$ .

Answer 2

1. En general, no es nada fácil. Puede echar un vistazo a Eisenbud, D. (1995). Álgebra conmutativa . Existen algunas estrategias generales para demostrar la irreducibilidad, utilizando el criterio de Serre, por ejemplo, o herramientas más sencillas.

2. Otra buena respuesta es utilizar el álgebra computacional: es eficiente y fiable, en el sentido de que si te garantiza encontrar la descomposición correcta, no dependes de la suerte que tenga el algoritmo. Maple, Sage, Mathematica, Macaulay2, todos ellos proporcionan factorización. Sin embargo, hay algunos inconvenientes: el polinomio a factorizar tiene que ser concreto, no se tolera indeterminación en los exponentes y el campo base tiene que ser fijo. Además, la factorización absoluta - es decir, la factorización sobre el cierre algebraico del campo de coeficientes - no está ampliamente implementada.

3. La tercera respuesta es ejemplos sencillos, trucos sencillos . En cuanto a su polinomio, la variedad que representa es conexa - sobre $\mathbb C$ por ejemplo-, porque es homogénea, y su locus singular como codimensión 2. Por tanto, tiene que ser irreducible. En efecto, si el polinomio tuviera dos factores, entonces la variedad asociada tendría dos componentes de cruce, y el lugar de intersección de dos hipersuperficies es siempre vacío o de codimensión $1$ . (Supongo que conoces la correspondencia álgebra-geometría ya que has hecho algunas preguntas sobre geometría algebraica).