Duda en la solución para la evaluación de la $\int_0^1\int_0^1\int_0^1(1+u^2+v^2+w^2)^{-2}du~dv~dw$.

Question

Tengo una duda en la respuesta para la evaluación de la siguiente integral:
$$\int_0^1\int_0^1\int_0^1(1+u^2+v^2+w^2)^{-2}du~dv~dw$$

solución: llamar a esta integral como $I$ .Por simetría, podemos calcular sobre el dominio $\{(u,v,w):0\leq v\leq u\leq 1\}$ y, a continuación, haga doble el resultado.
Sustituto $x=r$cos$\theta~,y=r$pecado$\theta~,w=$tan$\phi$. ahora los límites de integración se vuelven $0\leq \theta,\phi\leq \pi/4$ $0\leq r\leq $ seg$\theta$.

Y finalmente tenemos:
$$I=2\int_0^{\pi/4}\int_0^{\pi/4}\int_0^{sec\theta}\frac{rsec^2\phi}{(r^2+sec^2\phi)^2}dr~d\theta ~d\phi.$$

Mi duda es :

1.) No entiendo cómo por simetría estamos calculando $I$$\{(u,v,w):0\leq v\leq u\leq 1\}$ .
2.) No entiendo por qué sustituimos $x=r$cos$\theta~,y=r$pecado$\theta~,w=$tan$\phi$ ?

Amablemente me Ayude con lo anterior dudas..
gracias de antemano por cualquier ayuda...

Answer 1

$1.$ Que podría haber usado $0 \le u \le v \le 1$ si quería, su región es un cubo, es simétrica.

$2.$ Si nos fijamos en su función, la configuración de $u=r\cos \theta$ y $v=r\sin \theta$ $\implies u^{2} + v^{2} = r^{2}$. Así que tu luego a la izquierda con

$$ (1 + r^{2} + w^{2}) $$

Desde nuestras identidades trigonométricas, sabemos que

$$ 1 + \tan^{2} \phi = \sec^{2} \phi $$

Así que es natural para establecer $w = \tan \phi$.