Mostrando que lo que menos cardenal $\kappa$ ejemplo de un poset no tiene un fuerte antichain de tamaño $\kappa$ es regular

Question

Dado un poset $P$, vamos a $\operatorname{cc}(P)$ ser el menos cardenal $\kappa$ tal que $P$ no tiene un fuerte antichains de tamaño $\kappa$ — es decir, para cualquier conjunto de tamaño $\kappa$, existen dos elementos que tienen en común un límite inferior.

Si $\operatorname{cc}(P)$ es infinito, es $\operatorname{cc}(P)$ siempre regularmente un cardenal?

Answer 1

Sí, esto es cierto.

Para la primera revisión, algunas anotaciones, dado un elemento $a$ de un poset $P$, vamos a $P_{\leq a} = \{ x \in P : x \leq a \}$. Tenga en cuenta que cualquier fuerte antichain en el subposet $P_{\leq a}$, también es un fuerte antichain en $P$.

Supongamos que $\kappa$ es un singular cardenal, y $\operatorname{cc} (P) \geq \kappa$. (I. e., para cada una de las $\lambda < \kappa$ hay una fuerte antichain en $P$ del tamaño de la $\lambda$.) Vamos a demostrar que existe una fuerte antichain en $P$ del tamaño de la $\kappa$.

La primera revisión de un cofinal secuencia $( \lambda_\alpha : \alpha < \operatorname{cf} \kappa )$ de los cardenales en $\kappa$.

Hay dos casos.

1. Hay un $a \in P$ tal que $\operatorname{cc} ( P_{\leq b} ) \geq \kappa$ por cada $b \leq a$.

   Fijar un fuerte antichain $A = \{ a_\alpha : \alpha < \operatorname{cf} \kappa \}$$P_{\leq a}$, y para cada una de las $\alpha < \operatorname{cf} \kappa$ revisión de un fuerte antichain $A_\alpha$ $P_{\leq a_\alpha}$ del tamaño de la $\lambda_\alpha$. Tenga en cuenta que $\bigcup_{\alpha < \operatorname{cf} \kappa} A_\alpha$ es un fuerte antichain en $P_{\leq a}$ (y, por tanto, en $P$) de tamaño $\kappa$.

2. Para cada una de las $a \in P$ no es un porcentaje ( $b \leq a$ $\operatorname{cc}(P_{\leq b}) < \kappa$.

   Fijar un fuerte antichain $A$ $P$ que es maximal con respecto a la propiedad que $\operatorname{cc}(P_{\leq a}) < \kappa$ por cada $a \in A$. Tenga en cuenta que $A$ es en realidad una máxima fuerte antichain en $P$, ya que dado cualquier $a \in P$ no es un porcentaje ( $b \leq a$ $\operatorname{cc} ( P_{\leq b} ) < \kappa$ , y por lo $b$ (y por lo tanto también se $a$) tiene un común límite inferior con algún elemento de $A$.

   Si $|A| \geq \kappa$, hemos terminado. Así que supongamos que $|A| < \kappa$. Yo reclamo que $\sup_{a \in A} \operatorname{cc} ( P_{\leq a} ) = \kappa$. Dado cualquier $|A| \leq \lambda < \kappa$ hay una fuerte antichain $B$ $P$ del tamaño de la $\lambda^+$. También, cada una de las $b \in B$ común como límite inferior con algunos $a \in A$. Como $\lambda^+ > |A|$ es regular, se deduce que algunas de $a \in A$ común como límite inferior de la con $\lambda^+$-muchos de los elementos de $B$, y para tal $a \in A$ se sigue que $\operatorname{cc} (P_{\leq a}) > \lambda^+$.

   Ahora podemos recoger de forma recursiva $( a_\alpha )_{\alpha < \operatorname{cf} \kappa}$ elementos distintos de a $A$ tal que $\operatorname{cc} ( P_{\leq a_\alpha} ) > \lambda_\alpha$. Si para cada una de las $\alpha < \operatorname{cf} \kappa$ recogemos $A_\alpha$ un fuerte antichain en $P_{\leq a_\alpha}$ del tamaño de la $\lambda_\alpha$, como en el primer caso anterior se deduce que $\bigcup_{\alpha < \kappa} A_\alpha$ es un fuerte antichain en $P$ del tamaño de la $\kappa$.