¿Cómo se utiliza la transformada de Joukowsky para calcular el flujo de un perfil aerodinámico?

Question

Como he leído en El camino a la realidad por Roger Penrose El Transformación Joukowsky $$w(z) = \frac12\left( z + \frac1z \right)$$ después de Nikolai Zhukovsky (transcrito en varias versiones de ) puede utilizarse para calcular el flujo de un flujo no visible, incompresible e irrotacional alrededor de un perfil aerodinámico .

Esto se puede hacer ya que la solución de un flujo potencial alrededor de un cilindro se conoce en plena analiticidad y la transformada dada mapas de conformación un círculo en una geometría similar a la de un avión. No entiendo esta argumentación, así que:

¿Cómo se utiliza la transformada de Joukowsky para calcular el flujo de un perfil aerodinámico?

Un ejemplo de dicha transformación se da en el mencionado artículo de Wikipedia:

Gracias de antemano.

Answer 1

El quid del argumento es que podemos tratar las funciones analíticas complejas (holomorfas) como funciones en 2D, y sus partes reales e imaginarias (por separado) son soluciones de la ecuación de Laplace ( $\nabla^2 \psi = 0$ ), debido a la condición de Cauchy-Riemann. Los mapas conformes como el que citas mapean funciones analíticas en funciones analíticas, es decir, generan nuevas soluciones a partir de las antiguas. Así, conociendo una solución trivial (por ejemplo, alrededor del cilindro), podemos generar el flujo alrededor de un nuevo objeto encontrando un mapa conforme a él.

Detalles relevantes:

• La ecuación de Laplace resuelve problemas de flujo potencial: flujo incompresible, no viscoso, sin rizos (aunque se permite el flujo rotacional alrededor de objetos finitos --- la singularidad resultante está técnicamente fuera del dominio).

• Podemos relajar un poco la necesidad de funciones totalmente holomorfas.

• Tales mapeos tienden a estropear sus condiciones de contorno en el infinito --- por lo que puede ser bastante difícil en general encontrar tales mapeos.

Answer 2

Comprueba esta referencia: http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/airplane/map.html

Asegúrese de que su navegador es compatible con java - vale la pena.

Answer 3

Un libro de texto clásico sobre este tema desde la perspectiva del Análisis Complejo es

Churchill: Variables Complejas y Aplicaciones.

El capítulo 8 de ese libro trata sobre el flujo de fluidos (entre otras aplicaciones). La propia transformada aerodinámica se introduce en algunos ejercicios, aunque la teoría anterior describe los supuestos. Por supuesto, la suposición básica es que el plano x-y del fluido describe todas las propiedades relevantes, ya que se trata de un modelo bidimensional.