Vamos a denotar $\sin^{[n]}c$ $n$- a veces iteración de $\sin$. Es bastante claro que podemos muy bien suponer $c \in (0,1]$, ya que la primera iteración $\sin c$$[-1,1]$. Si $\sin c = 0$ es trivial, si $\sin c = [-1,0)$, sólo voltear el signo en los siguientes argumentos.
Primero nos tenga en cuenta que por la concavidad de $\sin$, $\sin x \geq x\sin 1$ para $x \in (0,1]$.
Ahora, dada cualquier $\epsilon \in (0,\sin c)$, ya que el $a_n$ es estrictamente decreciente, el conjunto $\{n:a_n \geq \epsilon\}$ (no vacío) tiene un elemento mayor $N$, en particular, se sostiene que siempre podemos encontrar $N$ tal que $\epsilon \sin 1 \leq \sin^{[N+1]} c < \epsilon$.
Por la concavidad de $\sin$ $\sin^{[N+1+k]}(c) \geq \epsilon^{-k} (\sin \epsilon)^k \sin^{[N+1]} c \geq \epsilon^{-k} (\sin \epsilon)^k \epsilon \sin 1$ tiene para todos los $k \in \mathbb{N}$, por lo que, en particular,$\sum_{k=0}^\infty a_{N+1+k} \geq \sin (1) \epsilon (1 - \epsilon^{-1} \sin \epsilon)^{-1}$.
Desde $\epsilon (1 - \epsilon^{-1} \sin \epsilon)^{-1} \to \infty$$\epsilon \to 0$, podemos concluir que para cualquier $K > 0$, podemos encontrar $N$ tal que $\sum_{n=N+1}^\infty a_n > K$, por lo tanto la suma diverge.
