¿Por qué es tan importante el Teorema Fundamental de la Aritmética?

Question

Recientemente he leído sobre el Teorema Fundamental de la Aritmética y creo que casi he entendido la demostración. Lo que me pareció bastante interesante al principio fue la parte "Fundamental" en el nombre. Entiendo que mi experiencia matemática está lejos de ser suficiente para apreciar completamente este teorema, pero ¿alguien puede explicarme por qué este teorema es tan importante? ¿Qué pasaría si este teorema no fuese realmente cierto?

¡Gracias de antemano!

Answer 1

Para mí, es importante porque te dice de qué están hechos los números. ¡Te dice que los números primos son los "bloques de construcción" de cada número, y lo mejor de todo es que esta factorización prima es única. Por lo tanto, esto te dice que un número simplemente "es" un producto de primos.

Además de ser bastante genial (creo que la prueba es limpia y fácil de entender para lo importante que es), piensa en lo útil que fue esto al principio cuando intentabas sumar fracciones; generalmente encuentras el denominador común más bajo usando la factorización prima de los denominadores. De manera similar, cuando quieres reducir la proporción de dos enteros, puede ser útil dividir tanto el numerador como el denominador por el factor común más grande, que nuevamente se puede encontrar usando el máximo común divisor. ¡Si no fuera cierto, tendrías que encontrar otro algoritmo! En otras áreas sobre las que sé muy poco, como la criptografía (por cierto, divertido de leer cuando estás aprendiendo teoría elemental de números), el teorema fundamental de la aritmética te brinda una buena forma de enviar mensajes secretos a otra persona solo usando el conocimiento de uno de los factores primos de un número realmente grande. Siempre sabemos que esta factorización prima existe, pero puede ser muy difícil encontrarla en un número realmente grande.

Como algunas personas están insinuando en los comentarios, esta idea se generaliza a otras áreas en álgebra abstracta (una parte de las matemáticas donde estudias conjuntos de cosas con diferentes niveles de estructura); puede ser útil intentar encontrar los bloques de construcción de otros conjuntos. De hecho, construir otros campos (finitos), que son conjuntos de números que se parecen mucho a los números racionales y reales en su nivel de estructura, depende de usar bloques de construcción de polinomios y una división euclidiana similar a la que usas cuando divides enteros por otros enteros. Cuando comencé a aprender sobre eso, encontré realmente útil recordar cómo funcionaban estos procesos para cosas que me resultaban más familiares, como los enteros.

No he avanzado mucho en matemáticas, pero he encontrado que conceptos como "¿cómo reducimos esta una cosa de la que no sabemos mucho en solo una colección de cosas más pequeñas sobre las que sabemos algo" surgen mucho en diferentes materias. Ayuda haberlos visto antes y tener un buen stock de ejemplos más simples en lugares más fáciles de comprender o más familiares.

Answer 2

El teorema fundamental de la aritmética es importante porque nos dice algo importante y no inmediatamente obvio acerca de $\mathbb{Z}$ (el anillo de los números naturales junto con esos números multiplicados por 0 o $-1$). Cada número distinto de cero en $\mathbb{Z}$ puede factorizarse de forma única en números primos sin tener en cuenta el orden o la multiplicación por unidades.

No importa si consideras números como $-2$, $-3$, $-5$, $-7$, etc., como primos o no. Por ejemplo, $-2 = -1 \times 2 = 2 \times -1$, y vemos que 2 es un primo positivo y $-1$ es una unidad, y no importa cuál presentemos primero. Aceptar algunos números negativos (específicamente los primos positivos multiplicados por $-1$) como primos no presenta ningún problema filosófico para el teorema fundamental de la aritmética.

Esto es algo que no debes dar por sentado cuando te adentras en el mundo más amplio de los enteros algebraicos. Considera por ejemplo $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, que consiste en números de la forma $a + b\sqrt{-5}$, donde $a$ y $b$ son enteros del tipo con los que ya estás familiarizado. Por ahora, toma mi palabra de que $$21 = 3 \times 7 = (4 - \sqrt{-5})(4 + \sqrt{-5}) = (1 - 2\sqrt{-5})(1 + 2\sqrt{-5}).$$

Bueno, puedes verificar la ecuación con Wolfram Alpha, por ejemplo, ingresando (4 - Sqrt[-5])(4 + Sqrt[-5]). Pero por ahora aún debes tomar mi palabra de que la ecuación anterior no contiene ninguna unidad, ni múltiplos no obvios de unidades.

Esto es algo que ocurriría en $\mathbb{Z}$ si el teorema fundamental de la aritmética no fuera realmente verdadero.

Para ayudarnos a comprender dominios íntegros como $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, usamos una función "norma" que toma un número de ese dominio y nos da un número en $\mathbb{Z}$. La función de norma para $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ es $N(a + b\sqrt{-5}) = a^2 + 5b^2$. Gracias a la función de norma, podemos ver que, por ejemplo, $1681 = (31 - 12\sqrt{-5})(31 + 12\sqrt{-5})$ es una factorización incompleta, porque $(6 + \sqrt{-5})^2 = (31 + 12\sqrt{-5})$ (solo tuvimos que encontrar un número "más pequeño" con una norma de 41).

El hecho de que $\mathbb{Z}$ tenga una factorización única (como se muestra en el teorema fundamental de la aritmética) nos permite demostrar cosas sobre números en otros dominios íntegros independientemente de si esos otros dominios tienen factorización única o no. Y resulta que de los infinitos anillos de enteros cuadráticos imaginarios, solo nueve de ellos tienen factorización única (claramente $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ no es uno de ellos).

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También echemos un vistazo al teorema frívolo de la aritmética y al teorema fundamental del álgebra.

El teorema frívolo de la aritmética nos dice que casi todos los enteros positivos son muy grandes. Esto es obvio, y por lo tanto frívolo, porque para cualquier entero positivo grande que puedas mencionar, puedo mencionar un entero positivo aún más grande simplemente sumando 1, por ejemplo, dices "googolplex", yo digo "googolplex más 1".

El teorema fundamental del álgebra nos dice que cada polinomio válido tiene tantas raíces como su grado. Por ejemplo, $x^4 - 1$ es un polinomio de grado 4, y tiene cuatro raíces, dos de las cuales deberías poder averiguar por ti mismo. El teorema fundamental del álgebra parece que debería ser obvio, sin embargo, su demostración es bastante larga y complicada. Pero para apreciar su significado e importancia, solo necesitas entender los números imaginarios y complejos.

Answer 3

Decidí comparar este teorema con otro de mis favoritos, el pequeño teorema de Fermat (que algunas personas simplemente llaman "teorema de Fermat").

En ProofWiki, fui a las páginas de ambos teoremas y hice clic en "qué enlaza aquí": https://proofwiki.org/wiki/Special:WhatLinksHere/Fundamental_Theorem_of_Arithmetic , https://proofwiki.org/wiki/Special:WhatLinksHere/Fermat%27s_Little_Theorem

Como pueden ver, el teorema fundamental de la aritmética se invoca para los siguientes resultados:

• Entero positivo mayor que 1 tiene divisor primo
• Los enteros forman un dominio de factorización única
• El producto cartesiano de conjuntos contables es contable
• La potencia del primo divide
• Conjunto de divisores de un entero
• Función Tau de la descomposición en factores primos
• Teorema de Ostrowski
• La suma de los recíprocos de los primos es divergente
• Cero y uno son los únicos cuadrados perfectos consecutivos
• Forma de producto de la suma en una función completamente multiplicativa
• Solución de ecuación diofántica lineal
• El número de primos es infinito (esto se puede demostrar sin el teorema fundamental de la aritmética, así que está bien si decides tacharlo de la lista)
• Función L de Dirichlet de un carácter trivial
• Subgrupo multiplicativo finito de campo es cíclico
• Suma sobre los divisores de von Mangoldt es el logaritmo
• La potencia de los elementos es un subgrupo
• Potencia de la suma módulo primo
• Conjunto de subconjuntos finitos de un conjunto contable es contable
• Condición de ciclicidad para las unidades del anillo de enteros módulo m
• Irracionalidad del logaritmo
• Entero a potencia racional es irracional si no es entero o recíproco

Comparar con el teorema de Fermat:

• El piso define la equivalencia
• Índice de subgrupo de subgrupo
• Anillo de enteros módulo primo es un campo
• Teorema de Wilson
• Prueba de Lucas-Lehmer
• Entero como suma de dos cuadrados
• Factores de números de Mersenne
• Valores del símbolo de Legendre
• La norma p-ádica no es completa en los números racionales
• Criterio de Euler
• Un grupo cíclico finito tiene generadores de Euler Phi

Decidí ignorar lemas, corolarios, definiciones, biografías y por supuesto páginas muy específicas de ProofWiki, como la página de Ayuda:Edición de páginas.

Mi conclusión es que, según esta medida, el pequeño teorema de Fermat es importante en el sentido de que otros teoremas dependen de él, pero no tan importante como el teorema fundamental de la aritmética.