¿Cómo sabemos que hemos encontrado todas las soluciones de una ecuación diferencial?

Question

Espero que no sea una muy estúpida la pregunta, pero' ha estado en mi mente desde que me enseñaron cómo resolver ecuaciones diferenciales en la escuela secundaria, y nunca he sido capaz de encontrar una respuesta.

Tomemos, por ejemplo, la simple ecuación diferencial $$y'=y.$$

Si bien entiendo que $y=C\cdot e^x$ satisface esta ecuación, yo no entiendo por qué no puede haber otras soluciones. Así que, ¿cómo sabemos esto?

Answer 1

Al estudiar el tema en la Universidad, usted encontrará probablemente singularidad teoremas que demuestran que para ciertos educación a distancia, no sólo una solución existe, pero esta solución también es único - no hay otras soluciones.

Para el primer fin de la educación a distancia como, por ejemplo, que en tu ejemplo, el teorema es la de Picard–Lindelöf teorema, el cual muestra que la solución es realmente única en torno a un intervalo de tiempo dado. Estos intervalos pueden entonces ser atados juntos para mostrar que esta es la única solución a todo el dominio.

Voy a añadir que para algunas otras formas de ecuaciones diferenciales no es del todo claro que las soluciones son únicas. El ejemplo más famoso es probablemente la ecuaciones de Navier-Stokes en tres dimensiones, que rigen el movimiento de los gases y de los líquidos de todos los que nos rodean, y sin embargo, ninguna prueba de la unicidad, en todos los casos conocidos.

Answer 2

Para cualquier solución $y$ a la ecuación, el siguiente tiene.

$y e^{-x} - y'(x) e^{-x} = (y(x)-y'(x))e^{-x} = 0$ para $x \in \mathbb{R}$.

Por lo tanto $\frac{d}{dx}(y(x)e^{-x}) = 0$ para $x \in \mathbb{R}$.

Mus $y(x)e^{-x} = c$ para $x \in \mathbb{R}$, para algunas constantes $c \in \mathbb{R}$ [por medio del teorema del valor].

Tenga en cuenta que esto incluye incluso el caso de $c = 0$, y también no se enfrenta a la división por cero, a diferencia de la típica método se enseña en la secundaria.

Answer 3

Usted ha expresado un caso especial. Voy a responder a usted por ese caso:

Si $$y'=y$$

esto significa que

$$\frac{y'} de{y}-1=0$$

Luego integramos de ambos lados:

$$ln(y)-x=C$$

Puede integración de cero tiene cualquier otro resultado que un número constante? Si no puede, entonces, que incluyen la totalidad de las respuestas.

Answer 4

En el caso de y'=y... Moverse a lo largo del eje x, siga las ordenadas de la línea hasta la curva donde la pendiente ='s el eje de ordenadas. De esta manera, se traza la curva, siendo sólo una curva de ahorrar para la traducción.