Cómo agregar infinitesimal al sistema numérico real

Question

Mi pregunta puede parecer una tontería, pero no sé por qué es difícil agregar infinitesimal al sistema de números reales.

Por ejemplo, si agrego al sistema de números reales dos símbolos especiales para indicar una cantidad infinitesimal e infinitamente grande, y doy una relación de orden y operaciones en el nuevo sistema, ¿qué problemas ocurren? (Por supuesto, tal sistema de números puede no satisfacer la integridad de Dedekind, pero oigo que los sistemas de números reales existentes con infinitesimal tampoco lo hacen).

Answer 1

Para complementar sos440 bien la respuesta, me gustaría mencionar que lo que usted propone es, de hecho, cerca de lo que se conoce en la literatura como "dual números"; ver Es la teoría de la doble números lo suficientemente fuerte como para desarrollar análisis real, y lo hace parecerse a los de Newton método histórico para hacer el cálculo? Aquí usted tiene básicamente una sola (hasta un múltiple) infinitesimal $\epsilon$ tal que $\epsilon^2=0$. El número resultante del sistema es útil en ciertas aplicaciones en la física. Sin embargo, para ser capaz de ampliar algunas funciones estándar (más allá de polinomios) para el nuevo sistema de número, se necesita un mayor enfoque complicado.

Answer 2

Una de las desventajas que se produce simplemente aumentar formal símbolo que indica la cantidad infinitesimal e infinitamente grande cantidad es que muchas de las propiedades algebraicas ya no espera. Esperamos que este aumento de los resultados en una forma sistemática de abordar los límites de una manera más intuitiva, y el desglose de álgebra no es ciertamente lo que queríamos en este proyecto.

E incluso si tenemos éxito en la ampliación de $\Bbb{R}$ mediante la adición de tales objetos de algún modo, que no plantea problema algebraico de alguna manera, es muy difícil de relacionar el cálculo sobre el número resultante del sistema, decir $F$, a la habitual de cálculo de $\Bbb{R}$. Por ejemplo, puede que desee probar la continuidad de $\sin x$, argumentando que

Suponga $\epsilon \approx 0$. A continuación,$\sin \epsilon \approx 0$$\cos \epsilon \approx 1$. Ahora, con la adición de la fórmula $$\sin (x + \epsilon) = \sin x \cos \epsilon + \cos x \sin \epsilon,$$ we have $\sin (x+\epsilon) \approx \sin x$.

Este aparentemente atractivo argumento, sin embargo, se requiere definir una función seno en $F$ lo cual es consistente con el original en $\Bbb{R}$. Y como usted podrá darse cuenta, este es un no-trivial de trabajo. De hecho, incluso el poder de la serie de la definición de $\sin x$ es no garantiza la convergencia en $F$ $x = \epsilon$ $F$ no está completo!

Históricamente, evitando de esta catástrofe, mientras que el logro de un suficientemente intuitiva y poderosa manera de tratar con los límites de cálculo infinitesimal había sido considerada muy duro hasta que Abraham Robinson se acercó con su famoso hyperreal número de sistema. Este número es un sistema ordenado de campo $\Bbb{R}^{*}$ que contiene el real campo de $\Bbb{R}$ como subconjunto tal que

1. $\Bbb{R}^{*}$ contiene infinitesimalmente pequeño de los números y de los infinitamente grandes números, cuyos conceptos son intuitivamente bien comportarse en virtud de las operaciones aritméticas y el fin de la relación.
2. La transferencia de principio sostiene: Para cualquier razonablemente simple declaración en $\Bbb{R}$, su verdadera versión es verdadera si y sólo si su versión original, es cierto.

Debido a que cualquier Arquímedes ordenó campo que se extiende $\Bbb{R}$ satisface la propiedad 1, en cierto sentido, es la transferencia de principio que hace que la noción de hyperreal números de una poderosa herramienta para el cálculo infinitesimal.