En general, existe un techinque para encontrar grupos de Galois. He de contorno para este caso concreto:
Compruebe que su extensión es de Galois. Por ejemplo, puedo afirmar que nuestro extensión es la división de campo de la $x^3-2$. De hecho, las raíces de $x^3-2$ $\sqrt[3]{2},\omega\sqrt[3]{2},\omega^2\sqrt[3]{2}$ y claramente $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)$ es igual que el campo generado por estas raíces sobre $\mathbb{Q}$. Por lo tanto, nuestra extensión es la división de campo de un polinomio separable.
Conocer el grado de su extensión. Para nosotros es bastante simple ya que se puede comprobar que la siguiente torre cuenta
$$\begin{array}{c}\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)\\ \vert 2\\ \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\\ \vert 3\\ \mathbb{Q}\end{array}$$
El primero, del hecho de que sabemos que el polinomio mínimo $m_{\mathbb{Q},\sqrt[3]{2}}=x^3-2$ y el segundo, ya que evidentemente $1+x+x^2\in\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})[x]$ aniquila $\omega$ $\omega\notin\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ (ya que no es real). Por lo tanto la propiedad multiplicativa de torres da que nuestra extensión es el grado seis.
3.Encontrar la cantidad de posibles elementos que pueden estar en el grupo de Galois de la extensión. En nuestro caso, han señalado que, en cualquier $\sigma\in\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)/\mathbb{Q})$ debe enviar $\sqrt[3]{2}$ a otra raíz de su polinomio mínimo, que hay tres (desde su polinomio mínimo, como sabemos, es $x^3-2$), y $\omega$ debe ser enviada a la raíz de su polinomio mínimo $1+x+x^2$, de los cuales hay dos. Por lo tanto, los posibles valores que se $\sigma$ envía $(\sqrt[3]{2},\omega)$ a se $(x,y)$ tal que $x\in\{\sqrt[3][2],\omega\sqrt[3]{2},\omega^2\sqrt[3]{2}\}$$y\in\{\omega,\omega^2\}$. Desde cualquier $\sigma$ está determinado por el valor que toma en $(\sqrt[3]{2},\omega)$ (ya que son generadores) se puede concluir que hay más de seis $\sigma$'s (no el marco estadístico) y por lo $|\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)/\mathbb{Q})|\leqslant 6$.
4.Utilice el hecho de que nuestro extensión de Galois a la conclusión de que la $|\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\omega)/\mathbb{Q})|$ es el grado de nuestra extensión, que es de seis. Aha! Pero sabemos que nuestro grupo de Galois tiene más de seis elementos: los $\sigma$ el envío de los generadores a los seis opciones posibles para $(x,y)$. Pero, ya que no DEBE ser de seis automorfismos podemos concluir que todos los seis posibles automorfismos SON automorfismos. Por lo tanto, hemos encontrado nuestro grupo de Galois
La obvia truco era mostrar que aunque podemos a priori sólo se enlaza el número de posibles automorfismos, el uso de la teoría de Galois podemos averiguar exactamente cómo muchos de los automorfismos debemos tener, que a menudo obliga a todas las opciones posibles a todas las opciones reales.
Espero, que fue muy útil. Siéntase libre de hacer cualquier pregunta.
