Encuentra el lado más largo del triángulo.

Question

Los lados$a,b,c$ de un$\triangle ABC$ están en$GP$ cuya relación común es$\frac{2}{3}$ y la circunferencia del triángulo es$6\sqrt{\frac{7}{209}}$. Encuentra el lado más largo del triángulo .

Usé la ley de los senos$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ $

Yo tomé $a=a,b=\frac{2}{3}a,c=\left(\frac{2}{3}\right)^2a$

lo que da$$\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{\sin B}{\sin C}$ $

Estoy atascado ahora, cómo encontrar el lado más largo$a$.

Answer 1

Si las longitudes de los lados son$l,\frac{2}{3}l,\frac{4}{9}l$, entonces el circunradio viene dado por:$$ R=\frac{abc}{4\Delta}=\frac{\frac{8}{27}l^3}{l^2\sqrt{\left(1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}\right)\left(1-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}\right)\left(1+\frac{2}{3}-\frac{4}{9}\right)\left(-1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}\right)}}$ $ por la fórmula de Heron, por lo tanto:$$ R = \frac{24}{\sqrt{1463}} l $ $ da:

PS

Answer 2

Deje que$a,b,c$ sean las longitudes de los lados. Luego,$b,c$ puede escribirse como$$b=\frac 23a,\quad c=\left(\frac 23\right)^2a$ $ donde$a$ es el lado más largo. Entonces, tenemos, por la ley de cosenos,$$a^2=\left(\frac 23a\right)^2+\left(\left(\frac 23\right)^2a\right)^2-2\cdot\frac 23a\cdot\left(\frac 23\right)^2a\cos A$ $$$\Rightarrow \cos A=-\frac{29}{48}.$ $ Por lo tanto,$$a=2R\sin A=2R\sqrt{1-\cos^2A}=2\cdot 6\sqrt{\frac{7}{209}}\sqrt{1-\left(-\frac{29}{48}\right)^2}=\frac 74.$ $

Answer 3

El lado del triángulo en GP con una proporción común$\frac{2}{3}$ se puede tomar como$$a=\frac{3}{2}x, b=x, c=\frac{2}{3}x$ $
Donde,$x$ es un número real positivo.

Por lo tanto, al usar la fórmula de coseno obtenemos$$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$ $$=\frac{\frac{9}{4}x^2+x^2-\frac{4}{9}x^2}{2\cdot\frac{3}{2}x \cdot x }=\frac{101}{108}$$ $$\implies \sin C=\sqrt{1-\cos ^2 A}=\sqrt{1-\frac{101^2}{108^2}}=\frac{\sqrt{1463}}{108}$$ Hence, the circumscribed radius of the triangle is given by the following formula $$\frac{c}{2\sin C}$$ $$=\frac{\frac{2}{3}x}{2\frac{\sqrt{1463}}{108}}=\frac{36}{\sqrt{1463}}x$$ $$\implies \frac{36}{\sqrt{1463}}x=6\sqrt{\frac{7}{209}}$$ $$x=\frac{7}{6}$$ Now, setting the value of $X$, all the sides of the triangle are calculated as follows $$a=\frac{3}{2}x=\frac{3}{2}\cdot \frac{7}{6}=\frac{8}{4}$$ $$b=x=\frac{7}{6}$%# PS

el lado más largo es$ $

PS