simple aplicación del Teorema de Bezout

Question

Dejemos que $f(x),g(x) \in \mathbb{C}[x_1,\cdots,x_n]$ sean dos polinomios homogéneos irreducibles de grado $n,m$ respectivamente. ¿Dice el Teorema de Bezout que el sistema de ecuaciones $f(x)=0, g(x)=0$ tiene precisamente $m \cdot n$ ¿Soluciones?

Ahora dejemos que $y(y_1,\cdots,y_n)$ sea un nuevo conjunto de indeterminados. Entonces $f(x+y),g(x+y)$ siguen siendo homogéneos de grado $m,n$ respectivamente, aunque se encuentran en los anillos $\mathbb{C}[x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_n]$ . ¿Dice el Teorema de Bezout que el sistema de ecuaciones $f(x+y)=0, g(x+y)=0$ tiene todavía $m \cdot n$ ¿Soluciones?

Answer 1

Edición: Como ha señalado Sánchez, la condición (3) tuvo que ser corregida de su formulación original.

No, lo que sí es cierto es que si tomas $n$ polinomios de grados $d_1, d_2, \dots, d_n$ , en $k[x_1,\dots,x_n]$ entonces tienen exactamente $d_1 d_2 \cdots d_n$ soluciones comunes proporcionadas:

(1) cuentas tus soluciones sobre un campo algebraicamente cerrado (no hay problema aquí, ya que estás trabajando sobre $k = \mathbb{C}$ );

(2) cuentas el número de soluciones en el espacio proyectivo (es decir, tienes que homogeneizar tu sistema de ecuaciones y luego sólo contar las soluciones no nulas hasta el reescalado);

(3) el $n$ Los polinomios deben intersecarse sólo en un número finito de puntos (es necesario, pero no suficiente, que los $n$ son relativamente primos); esta condición se mantendrá para un genérico elección de $n$ polinomios en $k[x_1,\dots,x_n]$ ;

(4) se cuenta cada solución con un multiplicidad de intersección .

Además de estos requisitos, el teorema de Bezout sólo es aplicable cuando el número de ecuaciones es igual al número de variables; intuitivamente, se parte de un $n$ -espacio dimensional $\mathbb{C}^n$ -- en realidad $\mathbb{CP}^n$ por (2) -- y cada uno de los $n$ reduce el espacio de soluciones comunes en $1$ dimensión, lo que resulta en un $0$ intersección de dimensiones (es decir, un conjunto finito de puntos). La condición (3) es para asegurar que efectivamente se obtiene un $0$ intersección dimensional, mientras que las condiciones (1) y (4) aseguran que se cuenten todas las soluciones, las multiplicidades de la intersección vienen porque hay que contar algunas soluciones repetidamente como lo exige el álgebra relevante en la prueba.