Polinomio Característico y Polinomio Mínimo

Question

(Verdadero o falso):
Supongamos que $A$ es una matriz $n \times n$ y $A^{k} = 0$ para algún k. Entonces el polinomio característico es $x^n$

Tiendo a creer que esto es verdadero ya que si $x^{k} = 0$ entonces el polinomio minimal divide a $x^k$ lo que implica que el polinomio minimal tiene la forma de $x^a$ para algún $a$. Lo que implica que el polinomio característico tiene la forma de $x^b$ para algún $b$ ya que el polinomio minimal divide al polinomio característico. Sé que el polinomio característico para una matriz $n \times n$ tendrá la forma de $x^n -trace(A)x^{n-1} + ....+(-1^n)det(A)$
Así que si el polinomio característico tiene la forma $x^b$ entonces para una matriz $n \times n$ tendrá la forma $x^n$

Otra pregunta es (Verdadero o falso)
Supongamos que $A^k = 0$ para algún $k$. Entonces el polinomio minimal de A es $x^k$

Tiendo a creer que esto es falso ya que la pregunta realmente no establece si $k < n$ o $k > n$ o si $k$ es el primer número que hace que $A$ sea cero. Por lo tanto, puede haber un $a < k$ donde $A^a = 0

¿Es válida mi argumentación para ambos ejemplos?

Answer 1

En cuanto a tu primera pregunta, la respuesta es sí. Dado que $A^k = 0$, el polinomio mínimo debe dividir a $x^k$ por lo que es de la forma $x^i$ para $1 \leq i \leq k. Aunque el polinomio mínimo divide al polinomio característico por el teorema de Cayley-Hamilton, no es suficiente para deducir que el polinomio característico debe ser $x^n$ (puede ser a priori, por ejemplo, $x^k(x-1)^{n-k}$). Sin embargo, el polinomio mínimo y el polinomio característico tienen los mismos factores irreducibles y esto implica que el polinomio característico debe ser $x^n.

En cuanto a tu segunda pregunta, tienes razón. Si $A = 0_{n \times n}$ entonces $A^k = 0$ para cualquier $k \in \mathbb{N}$ pero el polinomio mínimo de $A$ es $x$.