Problema de la función diferencial

Question

Deje que$f: \mathbb{R} → \mathbb{R} $ sea una función tal que$f(x)$ sea diferenciable en todos los$\mathbb{R}$ y$\lim_{x\to \infty}(f(x)-f(-x))=0$.

Demuestre que existe$x_{0} \in \mathbb{R}$ tal que$f'(x_{0})=0$

Intenté demostrarlo por contradicción utilizando que los límites en el infinito y en el infinito menos son iguales. Me está costando mucho formalizarlo.

Cualquier ayuda apreciada.

Answer 1

O bien$f$ tiene un extremo local en algún lugar en$x_0\in\mathbb R$ (máximo o mínimo), o es monótono. En el primer caso, entonces necesariamente$f'(x_0)=0$, en el segundo caso, el hecho de que$\lim_{x\to+\infty}(f(x)-f(-x))=0$ implica que$f$ es constante y, por lo tanto,$f'=0$ en todas partes.

Answer 2

Sugerencia: Suponiendo que$f'$ es continuo e integrable, se podría usar el teorema fundamental del cálculo.

Answer 3

Deje que la función tiende a un valor L para x tendiendo a Infinito positivo y la función tiene que tienden hacia el mismo valor para x tendiendo a Infinito negativo. Si La convergencia a este valor no es monótona, o oscilatorio, a continuación, tiene que tener una Máximos o mínimos. Si la convergencia es monótona, y desde el lado superior (valores de la función es mayor que el límite) o la parte inferior ( los valores de la función es menor que el límite) de ambos lados, a continuación, aplicar el teorema de Rolle. Y si la convergencia no es en la misma dirección en ambos lados, entonces habrá al menos dos puntos estacionarios usando el teorema de Rolle.

por último, si no hay convergencia de límite, como en el caso de $y=x^2$, en aquellos casos en los que las funciones han positivos y negativos derivados y uno puede usar el teorema del valor intermedio para la función derivada.

Answer 4

Como $f$ es continua en a $\mathbb{R}$, es así que en $[0,1]$. Deje $\alpha=\sup_{x\in [0,1]} f(x)$$\beta=\inf_{x\in [0,1]} f(x)$, luego por la continuidad existe alguna $x_0,x_1$ tal que $f(x_0)=\beta$, $f(x_1)=\alpha$. Si cualquiera de $x_0$ o $x_1$ se encuentra dentro de $[0,1]$ (es decir, no un punto final), a continuación, $f'$ desaparecer en ese momento, ya tendríamos los máximos locales/infima.

Así que supongamos que $x_0,x_1$ son extremos, y WLOG podemos suponer que la $x_1=1$ (a considerar de otra manera $f(-x)$ lugar). Además, podemos asumir $f'$ no se anula en los extremos.

Si $\alpha=\beta$ $f$ es constante en $[0,1]$, por lo que se hacen. Suponga $\alpha>\beta$.

Ahora suponga una contradicción que $f$ es inyectiva. De ello se desprende que $f(\mathbb{R}\setminus [0,1])\subseteq \mathbb{R}\setminus [\beta,\alpha]$. Por intermedio valor theore, (o por continuidad + conexión, cualquiera sea la forma que te gustaría) a continuación, se deduce que el $f(1,\infty)$ $f(-\infty,0)$ están conectados, es decir, los intervalos. Por lo tanto, cualquiera de las $f(1,\infty)\subset (\alpha,\infty)$ o $f(1,\infty)\subset(-\infty,\beta)$. Pero el segundo caso no puede ser posible, ya que los $\lim_{x\to 1+}f(x)=\alpha$ por la continuidad, lo que no puede suceder si $f(1,\infty)\subset(-\infty,\beta)$.

Simiarly, tenemos $f(-\infty,0)\subset (-\infty,\beta)$. Pero, a continuación, para lo suficientemente grande como $x$ (>1) tenemos que $f(x)-f(-x)>\alpha-\beta>0$, contradictoria de la asunción. Por lo $f$ no es inyectiva, y no existe $x_1,x_2$ distintas y $f(x_1)=f(x_2)$. Ahora concluir por el teorema de Rolle.

Answer 5

Ya que $\lim_{x\to \infty}(f(x)-f(-x))=0$,

y$f(x)$ es diferenciable y se asume continua en todas partes, según el Teorema del valor intermedio, existe un$x_{0}$ tal que:

$$f^{'}(x_{0})=\frac{\lim_{x\to \infty}f(x)-\lim_{x\to \infty}f(-x)}{x+x}=0.$ $ (probado)