Maximizar $f(x,y)=xy$ con sujeción a $x^2-yx+y^2 = 1$

Question

Utilizar el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los valores máximos y mínimos de la función $$f(x,y)=xy$$ en la curva $$x^2-yx+y^2=1$$

Intento:

En primer lugar, he puesto let $g(x,y)=x^2-xy+y^2-1$ y establecer $$\nabla f=\lambda\nabla g$$ así que $$(y,x)=\lambda(2x-y,2y-x)$$ entonces $$\begin{cases} \lambda=\frac{y}{2x-y} & (1) \\ \lambda=\frac{x}{2y-x} & (2)\\ x^2-yx+y^2=1 \end{cases} $$ Resolver $(1)$ y $(2)$ simultáneamente, entiendo que $$y^2=x^2$$ Sustitución en $(3)$ y siguiendo con la aritmética, obtengo cuatro candidatos a máximo y mínimo, a saber $$(1,1),(-1,-1),\big(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}\big),\big(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}\big)$$ La evaluación de estos puntos en $f$ , obtengo que el valor máximo es $$1 \ \text{at} \ (\pm1,\pm1)$$ y el valor mínimo es $$-\frac{1}{3} \ \text{at} \ \big(\pm\frac{1}{\sqrt{3}},\mp\frac{1}{\sqrt{3}}\big)$$ ¿Estoy en lo cierto? No estoy seguro de que haya efectivamente cuatro puntos críticos.

Answer 1

Como comprobación, no utilizar los multiplicadores de Lagrange:

$x^2-xy+y^2 =1$ .

1) Mínimo.

$(x+y)^2 -3xy =1.$

$3xy= (x+y)^2 -1 ;$

Un mínimo de $f(x,y) =-(1/3).$

2) Máximo.

$(x-y)^2 +xy =1;$

$xy = 1- (x-y)^2;$

Máximo de $f(x,y) = 1.$

Answer 2

Formas geométricas:

\begin {align} x^2-xy+y^2 &= 1 \\ \frac {(x+y)^2}{4}+ \frac {3(x-y)^2}{4} &= 1 \tag {1} \end {align}

Con la transformación $(X,Y)= \left( \dfrac{x+y}{\sqrt{2}}, \dfrac{x-y}{\sqrt{2}} \right)$ ,

$$\frac{X^2}{2}+\frac{3Y^2}{2}=1 \tag{2} $$

que es una elipse con ejes semimayor y menor $\sqrt{2}$ y $\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ respectivamente.

También, $$xy=\frac{X^2-Y^2}{2}$$

Ahora $(2)$ toca

• $X^2-Y^2=2$ en $\left( \pm \sqrt{2},0 \right)$ que da el máximo $xy$ de $1$

• $X^2-Y^2=-\dfrac{2}{3}$ en $\left( 0, \pm \sqrt{\dfrac{2}{3}} \right)$ que da el mínimo $xy$ de $-\dfrac{2}{3}$

Answer 3

La función de lagrange es $L(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)$ Para sacar el máximo de esta función, se diferencian parcialmente tanto R.H.S como L.H.S y se encuentra el valor de lambda para el que L es máximo, igualando estos diferenciales a cero, es decir $ \partial L=0=\partial f-\lambda\partial g$ . Esto le dio $L(+_- 1,+_-1,1)$ Que entonces (siendo máximo global por definición) sería mayor que igual a la propia función y por lo tanto la desigualdad resultará.Espero que esto ayude.