Cambio en valores propios cambiando solo una entrada de una matriz cuadrada

Question

Considere la siguiente matriz cuadrada $A$ orden $n$

$A=\begin{bmatrix} 0 & a_{12} & a_{13} & a_{14} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & 0 & a_{23} & a_{24} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & 0 & a_{34} & \cdots & a_{3n}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & 0 & \cdots & a_{4n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & a_{n4} & \cdots & 0\\ \end{bmatrix}_n$

Deje $A$ es simétrica matriz de autovalores $\lambda_i,i=1,2\cdots,n$.

Consideremos ahora dos matrices $B$ $C$ con autovalores $\mu_i$$\gamma_i,i=1,2,\cdots,n$, que se obtienen de la matriz de la $A$ reemplazando $a_{11}$ entrada $1$ $-1$ respectivamente

yo.e

$B=\begin{bmatrix} 1 & a_{12} & a_{13} & a_{14} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & 0 & a_{23} & a_{24} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & 0 & a_{34} & \cdots & a_{3n}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & 0 & \cdots & a_{4n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & a_{n4} & \cdots & 0\\ \end{bmatrix}_n$

$C=\begin{bmatrix} -1 & a_{12} & a_{13} & a_{14} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & 0 & a_{23} & a_{24} & \cdots & a_{2n} \\ a_{31} & a_{32} & 0 & a_{34} & \cdots & a_{3n}\\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & 0 & \cdots & a_{4n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & a_{n4} & \cdots & 0\\ \end{bmatrix}_n$

Mis preguntas son

$1.$¿Podemos encontrar alguna relación entre el$\lambda_i$$\mu_i$?

$2.$¿Podemos encontrar alguna relación entre el$\lambda_i$$\gamma_i$?

$3.$Que podemos encontrar en cualquier $\sum_{i=1}^{n} \left|\mu_i\right|$ en términos de $\lambda_i$?

$4.$Que podemos encontrar en cualquier $\sum_{i=1}^{n} \left|\gamma_i\right|$ en términos de $\lambda_i$?

Answer 1

Como resultado, la relación que existe entre cada uno de los autovalores. En primer lugar, vamos a reemplazar $B$ $C$ $A'$ matriz y definir sus autovalores $\lambda'$. La matriz $A'$ puede ser descrito de la siguiente manera:

$$A'=A\pm\mathbf{vv^{\text{T}}}$$

donde el vector de $\mathbf{v}$ tiene todos iguales a cero, excepto el primer elemento como uno:

$$ \mathbf{v}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{bmatrix} ^{\text{T}} $$

Entonces, el determinante se puede calcular mediante este lema:

$$ \begin{aligned} \det{(A')}=&\det{(A\pm\mathbf{vv^{\text{T}}})} \\ =&(1\pm\mathbf{v^{\text{T}}}A^{-1}\mathbf{v})\det{(A)} \end{aligned} $$

En general, arbitrarias de la matriz de determinante es igual a producto de todos sus autovalores. Además, la forma cuadrática $\mathbf{v^{\text{T}}}A^{-1}\mathbf{v}$ incluye sólo la parte superior izquierda del elemento de la matriz inversa $A^{-1}$. Por lo tanto, por encima de determinante puede ser expresada de la siguiente ecuación:

$$ \prod_{i=1}^{n}\lambda'_{i}= \prod_{i=1}^{n}\lambda_{i}\pm\Delta_{11} $$

donde $\Delta_{11}$ es la parte superior izquierda de la matriz cofactor. Por cierto, la relación de autovalores también puede ser expresado mediante seguimiento de la operación. Trace tiene una importante propiedad de que el valor es igual a la suma de todos los autovalores. Por lo tanto, la relación es:

$$ \begin{aligned} \text{tr}(A')=&\text{tr}(A\pm\mathbf{vv^{\text{T}}}) \\ \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}'=&\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \pm 1 \end{aligned} $$

Sin embargo, la actual traza de la matriz $\text{tr}(A)$ es cero, por lo que la ecuación anterior puede ser dividido por debajo de los casos:

$$ \begin{cases} \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}=0 \\ \displaystyle \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}'=\pm 1 \end{casos} $$

Answer 2

Desde su matriz $A$ es simétrica, es de la forma $A=P D P^{-1}$ para algunos ortonormales $P$ y diagonal $D$. Ahora, su $B$ $C$ matrices son de la forma $A\pm \Delta_{11}$ donde $\Delta_{11}$ es la matriz con un $1$ $1,1$ coordinar y cero en otro lugar.

Si aplicamos la diagonalización para$A$$A\pm \Delta_{11}$, obtenemos $$ P^{-1}(A \pm \Delta_{11})P = D \pm P^{-1}\Delta_{11}P$$ Es un ejercicio fácil en las propiedades de las matrices ortogonales para mostrar que $P^{-1}\Delta_{11}P = P^T \Delta_{11} P = \Delta_{11}$, por lo que la diagonalización de $A\pm \Delta_{11}$$D\pm \Delta_{11}$. Por lo tanto, podemos concluir que ir de $A$ $A \pm \Delta_{11}$ha cambiado uno de los autovalores ( $\lambda_1$ )$\pm1$.

Las sumas de los valores absolutos de los valores propios, a continuación, han cambiado a la mayoría de los $\pm1$ dependiendo del signo y la magnitud de $\lambda_{1}$.