Solución a la ecuación diofántica$\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z^2} $

Question

Tengo que probar el siguiente, pero no sé cómo empezar.

Las únicas soluciones en los enteros positivos de la ecuación $$ \frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{1}{z^2} \qquad \gcd(x,y,z)=1 $$ están dadas por $$ x=2o(s^2+t^2) \qquad y=s^4-t^4 \qquad z=2o(s^2-c^2) $$ donde $s,t$ son relativamente primos enteros positivos, uno de los cuales es, incluso, con $s>t$.

He intentado lo siguiente. Después de multiplicar la ecuación por $x^2y^2z^2$, se obtiene: $$ (yz)^2+(xz)^2=(x-y)^2, $$ que es una de Pitágoras ecuación de la forma $x^2+y^2=z^2$, que tiene soluciones $x=2st$, $y=s^2-t^2$ y $z=s^2+t^2$ con algunas condiciones. Pero no creo que este es un buen enfoque. Consejos sobre cómo iniciar o continuar con este problema son muy apreciados!

Answer 1

Tus instintos eran buenos, esto es como el problema de Pitágoras. Mire el círculo de unidades$$X^2+Y^2=1$$. We know, from stereographic projection or other means, that the rational solutions are given by $$(X,Y)=\left(\frac {s^2-t^2}{s^2+t^2},\frac{2st}{s^2+t^2}\right)$ $ Para Pythagorus borramos los denominadores, pero preferiría borrar los numeradores, lo que hacemos dividiendo por un múltiplo común, a saber,$(s^2-t^2)(2st)$. La inspección muestra que hemos logrado la forma deseada.