¿Fórmula para combinaciones con puntos igualmente espaciados?

Question

¿Cómo puedo calcular un valor específico en esta matriz triangular sin hacerlo manualmente? https://i.stack.imgur.com/C03lM.jpg

Por favor, ¡no a la notación sigma! Ya la tengo, lo que realmente busco es una fórmula bonita como nCr que no haga llorar a mi calculadora.

Estos números son las formas en que se pueden colocar los objetos P en las ranuras H, con la condición de que los objetos DEBEN estar igualmente espaciados entre sí.

Las columnas de puntos aumentan así (0) + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 5... con las adiciones subiendo cada (H-1) filas. Este fue el ejemplo para H = 4.

Aquí hay un diagrama para H = 6 y P = 3 https://i.stack.imgur.com/rWooI.png

Answer 1

Hay que tener en cuenta que debemos considerar cada uno de los posibles espaciamientos de forma individual. Cuando el espaciado es 0, el bloque de puntos ocupa $P$ espacios, por lo que hay $H-(P-1)$ formas de disponer los puntos. Asimismo, cuando el espaciado es 1, hay $2P-1$ espacios ocupados, por lo que $H-2(P-1)$ formas de organizar los puntos.

El número de espacios posibles es claramente $\lfloor\frac H{P-1}\rfloor$ por lo que hay que fijar esta cantidad igual a $k$ . Así, nuestra fórmula es $$kH - \frac{k(k+1)}2\cdot(P-1)$$ Así, nuestra fórmula final es $$\lfloor\frac H{P-1}\rfloor H - \frac{\lfloor\frac H{P-1}\rfloor(\lfloor\frac H{P-1}\rfloor+1)}2\cdot(P-1)$$

P.D. Esta fórmula falla para 1 punto ya que el espaciado no importa, por lo que nuestro análisis falla. Este caso se puede tratar manualmente.

P.P.D. He generado su matriz aquí