Una serie tal que$\sum {a_n}$ converge, pero$\sum {a_{3n}}$ diverge.

Question

1. Dar un ejemplo de una serie convergente $\sum {a_n}$ tales que la serie $\sum {a_{3n}}$ es divergente.

2. Dar un ejemplo de una divergente la serie de $\sum {b_n}$ tales que la serie $\sum {b_{3n}}$ es convergente.

Intento:

1. No estoy seguro de si esto es válido forumla para una secuencia : $ a_{3n-2} = \frac{1}{1+4(n-1)} ,a_{3n-1} = \frac{1}{3+4(n-1)}, a_{3n} = -\frac{1}{2n}$. Esta serie converge a $\frac{3}{2} \log(2)$. Pero, $\sum {a_{3n}}$ diverge.

2. Definimos $b_{3n-2}=1 , b_{3n-1}=1, b_{3n} = \frac{1}{n^2}$. La serie diverge, pero $\sum{b_{3n}}$ converge a $\frac{\pi^2}{6} $

El problema es que no estoy seguro de si este tipo de "fórmula" obras [a diferencia de la secuencia definida por $1/n$ o algo así. Es esto válido para definir la secuencia de "término a término" (aquí, los tres diferentes tipos de índices)?].

Answer 1

Es completamente correcto definir una secuencia término por término, y sus ejemplos están bien. De hecho, $\LaTeX$ incluso admite esto con el siguiente entorno:

 a_n=
 

Por ejemplo (haga clic con el botón derecho para mostrar el código subyacente): $$ a_n = \begin{cases} 2&\text{ if }\ 3\text{ divides } n\\ -1&\text{ otherwise} \end {cases} \ qquad \ text {y} \ qquad b_n = \begin{cases} 0&\text{ if }\ 3\text{ divides } n\\ 1&\text{ otherwise} \end {cases}. $$

Answer 2

Término a término está bien. Si desea un ejemplo de una serie tal que $\sum b_n$ divergente pero $\sum b_{3n}$ diverge y $|b_{n+1}| \le |b_n|$ para cada $i$ , tome $b_n = \frac{1}{n}$ iff $6 \not | n$ y $b_n = -\frac{1}{n}$ iff $6 | n$ .

Answer 3

Otros ejemplos: Para 1, considere la serie.

PS

La serie converge a $$1+0+(-1) + \frac{1}{2} +0 +\frac{-1}{2} + \frac{1}{3} +0 +\frac{-1}{3}+\cdots $ mientras que $0,$

Para 2, considere la serie

PS