Teoría de Hodge:$\Delta \alpha = 0$ iff$d\alpha = d^* \alpha = 0$ en una variedad no compacta?

Question

Deje $M$ ser una de Riemann colector (conectado, orientado).

Se puede definir el co-diferencial $d^* : \Omega^k(M, \mathbb{R}) \to \Omega^{k-1}(M, \mathbb{R})$ incluso si $M$ no es compacto (por ejemplo el uso de la definición con la estrella de Hodge, hay también una definición de la derivada covariante). $d$ e $d^*$ son formalmente auto-adjunto, en el sentido de que $\langle d \alpha, \beta \rangle_{L^2} = \langle \alpha, d^* \beta \rangle_{L^2}$ si $\alpha$ o $\beta$ tiene soporte compacto.

Uno puede entonces definir la Hodge Laplaciano $\Delta = d d^* + d^* d$. Si $M$ es compacto, entonces \begin{equation} \Delta \alpha = 0\quad \Leftrightarrow \quad d\alpha = 0 \text{ and } d^* \alpha = 0~. \end{equation}

Lo que si $M$ no se asume compacto? La dirección $\Leftarrow$ obviamente todavía se mantiene.

¿Qué acerca de la $\Rightarrow$?

Pensamientos: En el caso compacto, es fácil demostrar a $\Rightarrow$: uno sólo escribe $\langle \Delta \alpha, \alpha \rangle_{L^2} = \langle d \alpha, d\alpha \rangle_{L^2} + \langle d^* \alpha, d^* \alpha \rangle_{L^2}$ y rápidamente concluye. Sigo el argumento podría seguir trabajando en la noncompact caso mediante la evaluación de las $\langle \Delta \alpha, \varphi \alpha \rangle_{L^2} $ para un sabiamente elegido golpe función de $\varphi$, pero no puedo hacer que funcione. De lo contrario, tal vez puede ser comprobada mediante el cálculo directo de alguna manera, después de todo $\Delta \alpha$, $d \alpha$, e $d^* \alpha$ están todos los locales de cantidades.

Answer 1

Considere la posibilidad de $M = \mathbb{R}^n$ equipado con la norma métrica. Para un $0$forma $f$, es decir, un valor real de la función, tenemos $d^*f = 0$ para el grado de razones, y

$$df = \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}dx^i$$

que es cero si y sólo si $f$ es constante. Mientras

\begin{align*} \Delta f &= dd^*f + d^*df\\ &= -*d*df\\ &= -*d*\left(\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}dx^i\right)\\ &= -*d\left(\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}*(dx^i)\right)\\ &= -*d\left(\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i} (-1)^{i-1}dx^1\wedge\dots\wedge dx^{i-1}\wedge dx^{i+1}\wedge\dots\wedge dx^n\right)\\ &= -*\left(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i} (-1)^{i-1}dx^j\wedge dx^1\wedge\dots\wedge dx^{i-1}\wedge dx^{i+1}\wedge\dots\wedge dx^n\right)\\ &= -*\left(\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} (-1)^{i-1}dx^i\wedge dx^1\wedge\dots\wedge dx^{i-1}\wedge dx^{i+1}\wedge\dots\wedge dx^n\right)\\ &= -*\left(\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} dx^1\wedge\dots\wedge dx^{i-1}\wedge dx^i\wedge dx^{i+1}\wedge\dots\wedge dx^n\right)\\ &= -*\left(\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} dx^1\wedge\dots\wedge dx^n\right)\\ &= -\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}*(dx^1\wedge\dots\wedge dx^n)\\ &= -\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2} \end{align*}

que es cero si y sólo si $f$ es armónico.

Así que tu pregunta se convierte en:

Es cada armónico de la función en $\mathbb{R}^n$ constante?

La respuesta es no. Por ejemplo, $f(x_1, \dots, x_n) = x_1$ es una función armónica que no es constante, por lo $\Delta f = 0$ pero $df \neq 0$.