Encontrar toda función continua que mapee cualquier secuencia en progresión geométrica a otra progresión geométrica.

Question

Encontrar todas las funciones continuas $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ tal que para cualquier progresión geométrica $x_n$ la secuencia $f(x_n)$ también es una progresión geométrica.

Probé primero tomando secuencias constantes. Pero no ayuda mucho.

Answer 1

Si $f(1)=0$ y $x\neq 0$ entonces tenemos que $f(x)^2=f(1)f(x^2)=0$ Así que $f\equiv 0$ . Supongamos a partir de ahora que $f(1)\neq 0$ .

Toma $r>0$ . Existe algún $s\in\Bbb R$ tal que $$f(r^n)=s^nf(1),\,\forall n\in\Bbb Z$$ Si $q\in\Bbb Z_+$ , $$f((r^{1/q})^q)=sf(1)$$ Entonces, si $f(r^{1/q})=tf(1)$ entonces $sf(1)=t^qf(1)$ Así que $t=s^{1/q}$ . Obsérvese que esto implica $s>0$ . Esto demuestra que $$f(r^\alpha)=s^\alpha f(1)\,\forall \alpha\in\Bbb Q$$ y, por continuidad, para todo $\alpha\in\Bbb R$ .

Tomar ahora $x>0$ . Entonces $$f(x)=f(r^{\log_r x})=s^{\log_r x}f(1)=f(1)x^k$$ donde $k=\log_rs$ .

Si $x<0$ consideremos la progresión geométrica $(-1)^nx$ . Entonces $f(x),f(-x),f(x),\ldots$ también es una progresión geométrica, por lo que $|f(-x)|=|f(x)|$ . Existe una función $g$ de la forma $g(x)=ax^k$ tal que $|f(x)|=|g(x)|$ . De nuevo por continuidad, esto significa que $f$ est $g$ , $-g$ , $|g|$ ou $-|g|$ .

Observación : Dado que el dominio de $f$ est $\Bbb R$ , $k$ debe ser un número entero.

Answer 2

Lo más general posible: $x_n = ar^n$

Requerir $f(ar^n) = bs^n$ . (Sí, el $n$ puede ser diferente pero se puede ajustar $s$ para hacer el $n$ iguales).

También pedimos $f(ar^{n+1}) = bs^{n+1}$ . Para cualquier $x \in \mathbb{R}$ podemos encontrar $a$ tal que $x = ar^{n}$ .

Entonces lo que pedimos es equivalente a pedir que para cualquier $x \in \mathbb{R}, \exists s :f(ar^{n+1}) = f(rx) = bs^{n+1} = sf(x)$ . Así que esto es como "casi lineal" lo que están pidiendo.

Resolviendo esta ecuación funcional, podemos ver $f(0) = 0$ (o $s=1$ ).

Pero si tomo $x=1$ , $f(r) = sf(1) \iff \frac{f(r)}{f(1)} = s$ . Esto nos da pistas. $f(r^k) = s^k f(1)$ . La función que asigna $ar^n$ a $bs^n$ se caracteriza por $\frac{f(r)}{f(1)} = s$ . Siguiente paso: $f(ar^n) = b(\frac{f(r)}{f(1)})^{n}$ . Por supuesto también $f(a)=b$ .

$f(ar^n) = f(a)(\frac{f(r)}{f(1)})^{n}$ .

La identidad clave es $f(rx) = \frac{f(r)}{f(1)}f(x)$

Algunos ejemplos de soluciones: $f(x) = x$ , $f(x) = cx, c \in \mathbb{R}$ , $f(x) = cx^k, k \in \mathbb{Z}$ .