Número de posibles parejas de ajedrez donde el orden y la posición son importantes

Question

Dado 11 jugadores de ajedrez y 5 distintas tablas, ¿en cuántas formas podemos par de ellos para jugar (el color no importa)?

Mi problema es que he encontrado dos enfoques, ambos de los cuales ofrecen diferentes números, y no estoy seguro de qué es lo que falta en el uno o el doble cómputo de los otros.

El primer enfoque es tomar cualquier permutación de las $11$ a los jugadores, como las tablas son distintos hay 11 lugares singulares (uno de ellos es que no juego), por lo que podemos colocar a los jugadores de acuerdo a la permutación. Esto le da a $11!=39916800$ juegos posibles.

El segundo enfoque es la primera escoger pares, el primer jugador tiene 10 opciones, el siguiente tiene 8, ... y luego se multiplica por $2^5$ a cuenta de los colores de cada par, y finalmente se multiplica por el número de maneras de asiento en las mesas (para multiplicar por $5!$), dando

$$10\cdot8\cdot6\cdot4\cdot2\cdot2^5\cdot120=14745600$$

Mi intuición es que el primer enfoque es correcto, pero entonces no estoy seguro de que los emparejamientos son los que faltan en la segunda..

Answer 1

Cuando elija pares en el segundo enfoque, tenga en cuenta que hay ${ 11 \choose 2}$ maneras de elegir el par para jugar en la primera (tabla distinta). Como tal, este método produce:

PS

Por inspección, esto es igual a $$ { 11 \choose 2} { 9 \choose 2 } { 7 \choose 2} { 5 \choose 2 } { 3 \choose 2 } { 1 \choose 2 } \times 2^5. $ .

Answer 2

El primer enfoque perfectamente tiene sentido.

En el segundo enfoque, cuando decimos que el primer jugador $p$ ha $10$ opciones, se elige un jugador y elegir a sus opositores de $10$ opciones. Pero luego nos saltamos el caso de que $p$ no jugar en absoluto. Esto muestra que hay algunos casos en los que no se cuentan pero todavía no cubre todos los casos que no se cuentan. Falta de los casos probablemente vienen de otros supuestos como el segundo jugador elegido tener $8$ opciones, tercer jugador elegido tener $6$ opciones, etc.