encontrar una línea tangente a una parábola

Question

Estoy practicando para un concurso de matemáticas y me encontré con el siguiente problema que no sé cómo resolver:

Para qué valor de $b$ es no sólo uno de intersección entre la línea de $y = x + b$ y la parábola $y = x^2 + 5x + 3$?

¿Cómo puedo solucionarlo?

Editar: Cometí un error de tipeo el problema. Debe ser $y = x^2 - 5x + 3$ en lugar de $y = x^2 + 5x + 3 $ la clave de respuestas dice que la respuesta es de -6.

Answer 1

Sugerencia: $$x^2+5x+3=x+b\iff x^2+4x+3-b=0,$$ this quadratic equation should have exactly one solution therefore the discriminant $ \ Delta =? $

Answer 2

Tenga en cuenta que le gusta que la línea $y=x+b$ sea tangente a la parábola. La pendiente de esta línea es $ m=1.$ Por lo tanto, la derivada de su parábola debe ser la misma que la pendiente de la línea tangente. Encuentre el punto de la tangencia y encuentre el valor $b$ para que la línea pase a través de ese punto.

Answer 3

La tangente a la parábola tiene una pendiente $y' = 2x+5$ que debe ser una pendiente de la línea = 1 en el punto de contacto. Entonces el punto de contacto está en x = -2. Sustituyendo en parábola, obtenemos y = -3. Ahora este punto está en línea también.