Encuentre todas las funciones continuas $f:(0,1)\rightarrow\mathbb{R}$ de manera que $$f\left(\dfrac{x-y}{\ln x-\ln y}\right)=\dfrac{f(x)+f(y)}{2},$$ and $ x \ neq y $ .
Intenté resolviendo poner $y=\frac{x}{2}$ pero la respuesta no viene.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Hagen von Eitzen
Puntos
171160
Cualquier función constante es, obviamente, una solución. Asumir desde ahora que $f$ es una solución que no es constante.
Tenga en cuenta que por el valor medio teorema, $g(x,y):=\frac{x-y}{\ln x-\ln y}$ es estrictamente entre $x$ e $y$. Por otro lado, se observa que si tenemos una secuencia $x_n\to x$, entonces hay una secuencia $y_n\to x$ tal que $g(x_n,y_n)=x$ para casi todos los $n$. (Esto implica algunos explícito de computación o algunos handwaving murmurando "función implícita").
Suponga $f$ tiene un máximo local en a$x$, pero no es constante en cualquier barrio de $x$. Entonces nos encontramos con la $x_n\to x$ con $f(x_n)<f(x)$. Con un acuerdo de secuencia $y_n\to x$ con $g(x_n,y_n)=x$ (para casi todos los $n$), llegamos a una contradicción, ya que debemos tener $f(y_n)\le f(x)$ para casi todos los $n$ y llegar a $f(x)=\frac{f(x_n)+f(y_n)}2<f(x)$. Llegamos a la conclusión de que, $f$ debe ser estrictamente monótona, en particular inyectiva.
Fix $u<v$. Deje $a=g(u,v)$, $b=g(u,a)$, $c=g(a,v)$, e $d(g(b,c)$. Entonces $$f(d)=\frac{f(b)+f(c)}2=\frac{\frac{f(u)+f(a)}2+\frac{f(a)+f(v)}2}2=\frac{f(u)+f(v)}2=f(a) $$ y, por tanto, $a=d$. Así $$\frac{u-v}{\ln u-\ln v}=\frac{\frac{u-\frac{u-v}{\ln u-\ln v}}{\ln u-\ln \frac{u-v}{\ln u-\ln v}}-\frac{v-\frac{u-v}{\ln u-\ln v}}{\ln v-\ln \frac{u-v}{\ln u-\ln v}}}{\ln \frac{u-\frac{u-v}{\ln u-\ln v}}{\ln u-\ln \frac{u-v}{\ln u-\ln v}}-\ln \frac{v-\frac{u-v}{\ln u-\ln v}}{\ln v-\ln \frac{u-v}{\ln u-\ln v}}}.$$ Es absurdo suponer que esto podría sostener por todos los $u,v$. Sólo enchufar en cualquier $u,v$ y computación en ambos lados con la suficiente precisión fácilmente se demuestra que la ecuación está mal. Por ejemplo, $u=10^{-10}$, $v=0.5$ conduce a $a=0.02238869\ldots$, $b=0.001164\ldots$, $c=0.153767\ldots$, e $d=0.03125\ldots$. A partir de esta contradicción, se infiere que no hay constante de soluciones.
