¿Por qué funciona este método para resolver sistemas de ecuaciones lineales usando determinantes?

Question

Soy nuevo aquí y el inglés no es mi lengua nativa, pero voy a tratar de explicar mi pregunta lo mejor que puedo. Mientras que el estudio de los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales que me llegó a través de un método llamado "algoritmo de Gauss" para que dudo si es su nombre real o no, pero no puedo entender por QUÉ funciona. Realmente agradecería una explicación adecuada o tal vez una pista de lo que está sucediendo en el interior del método de proceso que explica la lógica detrás de esto.

El proceso en cuestión es la siguiente e implica factores determinantes:

Supongamos que tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales, por ejemplo \begin{cases} \ x+2y-z=-5 \\2x-1y+2z=8 \\3x+3y+4z=5 \ \end{casos}

A continuación, el resultado de las pruebas de que el método sigue como sigue

\begin{array}{ccc|c} x & y & z & i.t. \\ \hline 1 & 2 & -1 & -5 \\ 2 & -1 & 2 & 8 \\ 3 & 3 & 4 & 5 \\ \hline & -5 & 4 & 18 \\ & -3 & 7 & 20 \\ \hline & & -23 & -46 \\ \end{array}

Por ejemplo, cuando los coeficientes de $-5$ e $4$, y el término independiente $18$, de la primera fila de la reducción del sistema ha sido calculada con las siguientes determinantes:

\begin{equation} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \\ \end{vmatrix}=-5 \hspace{1cm} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 2 \\ \end{vmatrix}=4 \hspace{1cm} \begin{vmatrix} 1 & -5 \\ 2 & 8 \\ \end{vmatrix}=18 \end{equation}

Donde los determinantes fueron calculadas usando la primera y la segunda fila del sistema de ecuaciones de la matriz. A continuación, el resto de coeficientes -3 y 7 y el término independiente de 20 fueron encontrados mediante el cálculo de los respectivos determinantes como el anterior pero usando la primera y la tercera fila del sistema de ecuaciones de la matriz.

Pruebas de este método y si el sistema es compatible, como arriba se puede ver que \begin{equation} -23z = -46\\ z=2\end{equation} y, a continuación, por la sustitución en la posterior ex ecuaciones de las otras variables se puede encontrar.

Bien, ese es el método que yo estaba estudiando y le agradezco a saber más sobre él, es una lástima que no sé el nombre de ella, pero tal vez usted puede ayudar.

Gracias de antemano!

Answer 1

El cálculo de los factores determinantes es equivalente a resolver paso a paso el sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

1. Multiplicar la primera ecuación por $2$, que es el coeficiente de $x$ en la segunda ecuación;
2. Multiplicar el segundo por $1$, que es el coeficiente de $x$ en la primera ecuación; y, a continuación,
3. Restar el primero de la segunda ecuación.

Esto dará como resultado en la cuarta ecuación.

Después, podemos hacer lo mismo para la primera y tercera ecuaciones para obtener la quinta ecuación:

4. Multiplicar la primera ecuación por $3$, que es el coeficiente de $x$ en la tercera ecuación;
5. Multiplicar el tercero por $1$, que es el coeficiente de $x$ en la primera ecuación; y, a continuación,
6. Restar el primero de la tercera ecuación.

Ahora podemos hacer una aproximación similar a la cuarta y quinta ecuación para obtener la sexta ecuación:

7. Multiplicar la cuarta ecuación de $-3$, que es el coeficiente de $y$ en la quinta ecuación;
8. Multiplicar el quinto por $-5$, que es el coeficiente de $y$ en el cuarto ecuación; y, a continuación,
9. Restar el cuarto de la quinta ecuación.

Y voilà, tenemos la sexta ecuación.

Answer 2

Se llama al método de eliminación de Gauss.

Esto funciona así. Considere algunas de las ecuaciones, y solo la constancia de los coeficientes de ellos.

... [A] ... B ... | E
...  C  ... D ... | F

Hay otras líneas que no se muestra, y los datos de arriba sorresponds a algo como $$ \begin{aligned} \dots +\boxed{a}x+\dots+bz &=e\ ,\\ \dots +cx+\dots+dz &=f\ , \end{aligned} $$ Ahora declaramos un valor de $a\ne 0$ debajo de los coeficientes a ser el "pivote", y ponerlo en una caja. El pivote de la línea se divide imaginario por el pivote $a$, obteniendo así $\dots +x+\dots+(b/a)z =(e/a)$, y luego se usa para eliminar todos los coeficientes a continuación (y en una eliminación total más arriba) el pivote. Así multiplicar la ecuación anterior por $-c$, y a la que implica la $cx$ a eliminar la $c$. Se obtiene, en la descripción formal, en la "próxima eliminación de bloques":

... [A] ...     B    ... |     E
...  0  ... D - BC/A ... | F - EC/A

y tenga en cuenta que $D-BC/A$ es el determinante $AD-BC$ dividido por el pivote $A$. Este es el nativo de eliminación de Gauss. Numéricamente, las personas tienden a escoger a$A$ con máximo valor absoluto.

El esquema anterior utiliza una variación, todas las nuevas filas se multiplican por el pivote. Así:

... [A] ...      B  ... |      E
...  0  ... AD - BC ... | AF - EC

Esto es!

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En nuestro caso, también siempre copiando el pivote de la línea:

$$ \begin{array}{ccc|c} x & y & z & i.t. \\ \hline \boxed1 & 2 & -1 & -5 \\ 2 & -1 & 2 & 8 \\ 3 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 1 & 2 & -1 & -5 \\ & \boxed{-5} & 4 & 18 \\ & -3 & 7 & 20 \\ \hline 1 & 2 & -1 & -5 \\ & -5 & 4 & 18 \\ & & \boxed{-23} & -46 \\ \end{array} $$