¿Cómo puedo calcular el 'rango promedio' de un conjunto infinito?

Question

Nota: Utilizaré $\in^n$ para indicar que un objeto "es un elemento de un elemento de un..." de un conjunto. p. ej. $x\in^4 X$ significa que existen $X_1,\ldots,X_3$ tales que $x\in X_1\in X_2\in X_3\in X$. De la misma manera $x\in^1 X\iff x\in X$, y $x\in^0 X\iff x\notin X$. Si quieres volverte realmente loco con esto, también podrías tener $x\in^{-1}X\iff x\in X^\complement$

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La rango de un conjunto $X$ se define como el mayor $n$ tal que existe un $x$ para el cual $x\in^n X$. El conjunto vacío tiene rango $0$, el conjunto que contiene al conjunto vacío tiene rango $1$, y así sucesivamente.

Supongamos que tengo dos conjuntos $A_1=\{a,\{b\}\}$ y $A_2=\{\{a\},\{b\}\}$, donde, por razones de argumento, $a$ y $b$ son urelementos. Ambos conjuntos tienen rango $2$, pero sus estructuras difieren de manera obvia. Quiero aclarar esta diferencia de una manera que aún transmita la idea de conjuntos anidados y rango. Así que me digo a mí mismo "¿por qué no inventar un rango promedio?"

Luego, después de treinta segundos, escribo la fórmula...

$$ark(X)=\frac{1}{|X|}\sum_{x\in X} rk(x)+1\qquad: X\neq\emptyset$$

(Nota: ver segunda edición)

¡Genial! Por supuesto, esto solo funciona para conjuntos finitos, y ya no estoy en preescolar; así que ¿cómo calculo el rango promedio de un conjunto infinito?

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Edición:

El 'rango' (no el 'rango promedio') está destinado a ser el mismo que el rango ordinal en el universo de Von Neumann. El uso de $\in^n$ y 'rango promedio' pretende elaborar sobre la estructura de conjuntos anidados arbitrariamente complicados sin entrar en demasiados detalles.

El rango promedio de un conjunto no es único y por sí solo no es suficiente para describir el conjunto. Sin embargo, combinado con el rango [ordinal], el rango promedio da una indicación aproximada de cuánta información está codificada en la forma en que está estructurado un conjunto en particular (en términos de anidación), su 'homogeneidad' o complejidad. Se podría hacer una analogía razonable con listas multinivel, árboles o filogenias.

Al calcular el rango promedio traté el rango de cada conjunto (y su cardinalidad) como un número real. Obviamente, esto solo tiene sentido si tanto el rango como la cardinalidad son finitos, de ahí la pregunta.

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Edición:

Tras reflexionar, tiene más sentido definir el rango promedio de forma recursiva, así que...

$$ark(X)=\frac{1}{|X|}\sum_{x\in X} ark(x)+1\qquad: X\neq\emptyset$$

...con $ark(z)=ark(\emptyset)=0$ para todos los urelementos $z$. De esta manera, si, por ejemplo, $A_1=\{a,\{\{a\},\{b\}\}\}$ y $A_2=\{a,\{a,\{b\}\}\}$, tendremos que $ark(A_1)=2$ y $ark(A_2)=1.75$ (usando la fórmula original, el rango promedio de $A_1$ y $A_2$ sería ambos $2$)

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Nota: Encuentro que la notación $\in^n$ es extremadamente intuitiva y útil para tratar con conjuntos anidados. También me ahorra mucho espacio. ¿Qué piensan todos los demás sobre esta notación? ¿Es útil, o debería escribirlo de otra manera?

Answer 1

Hay varias cosas aquí.

1. No hay una manera razonable de hacer una suma infinita aquí. Por un lado, los cardinales no admiten inversos, y dado que los ordinales miden el orden y los cardinales miden la cardinalidad, no está claro si quieres decir que la suma en sí es una suma ordinal o cardinal, y si es una suma ordinal, cuál es el orden en $X$, etc. Podrías argumentar que queremos hablar de esto en los números surreales. Pero no hay razón para pensar que la suma es convergente.

2. Existe una noción de rango en la teoría de conjuntos. Y es global, en lugar de ser una noción particular para cada conjunto específico. $\varnothing$ tiene rango $0$, y un conjunto $A$ tiene un rango de algún ordinal $\alpha$ si $\alpha$ es el ordinal más pequeño tal que no $a\in A$ tiene un rango $\geq\alpha$. Puedes obtener más información al leer acerca de la jerarquía de von Neumann.

3. La pregunta sobre cuándo dos conjuntos son "isomorfos" no es trivial de definir. Pero creo que lo que quieres es considerar los cierres transitivos de dos conjuntos y preguntar si esos son de alguna manera isomorfos mediante alguna identificación de algunos objetos. Donde el cierre transitivo de un conjunto $A$ se puede definir como $\{a\mid\exists n\in\Bbb N: a\in^n A\}$, usando tu notación, o definir $A_0=A$ y $A_{n+1}=\bigcup A_n$, entonces el cierre transitivo es $\bigcup\{A_n\mid n\in\Bbb N\}$ (recuerda: en teoría de conjuntos, todo es un conjunto, y si te gustan los urelementos, define $\bigcup$ de la manera obvia que ignora los urelementos).

Espero que esas ideas sean útiles.