$A\otimes \mathbf{Q}\cong B\otimes \mathbf{Q}$ implica$A$ y$B$ son$\mathcal{C}$ - isomorfo

Question

Estoy tratando de resolver el ejercicio 211 en Davis-Kirk:

Deje $\mathcal{C}$ ser la clase de torsión abelian grupos. Demostrar que para cualquier abelian grupos $A,~B$, $A\otimes \mathbf{Q}\cong B\otimes \mathbf{Q}$ implica $A$ e $B$ se $\mathcal{C}$-isomorfos, es decir,

existe un grupo abelian $C$ y el grupo homomorphisms $f:C\to A$, $g:C\to B$ tal que $\ker f,\mathrm{coker} f$, $\ker g,\mathrm{coker} g$ son abelian de torsión grupos.

Mi intento:

Considere la secuencia exacta $$0\to\mathbf{Z}\to \mathbf{Q}\to \mathbf{Q}/\mathbf{Z} \to 0 $$ y el indcued secuencia exacta $$0\to \mathrm{Tor}(\mathbf{Q}/\mathbf{Z},A)\to A\to \mathbf{Q}\otimes A \to \mathbf{Q}/\mathbf{Z} \otimes A \to 0 $$

Es tentador tomar el mapa de $A\to \mathbf{Q}\otimes A$ cuyo núcleo y cokernel son todos los grupos de torsión. Pero la definición que se nos pide encontrar un mapa cuyo objetivo es $A$, no el origen. Por otra parte, no podemos concluir $\mathrm{Tor}(\mathbf{Q}/\mathbf{Z},A)\cong \mathrm{Tor}(\mathbf{Q}/\mathbf{Z},B)$.

Además de este "canónica mapa", no tengo idea de cómo construir los dos mapas. Cualquier sugerencias y respuesta son bienvenidos!

Answer 1

Deje $D$ denominar $A\otimes \mathbb{Q}$ e $B\otimes \mathbb{Q}$, y deje $f: A\to D, g:B\to D$ denotar la canónica de morfismos.

Deje $p:C \to A, q:C\to B$ ser el pullback de $f$ a lo largo de $g$, que es, concretamente $C=\{(a,b)\in A\times B \mid f(a)=g(b)\}$.

Ahora vamos a $x\in \ker p$. A continuación, $x=(0,b)$ para algunos $b$ tal que $g(b) =0$. Pero, a continuación, $b$ es de torsión, por lo tanto así es $x$. Simétricamente, nos muestran que la $\ker q$ es de torsión.

Veamos ahora el cokernel : vamos a $a\in A$. Queremos encontrar a$b\in B$ tal que $g(b) = f(a)$. Por supuesto, no siempre es posible, pero es posible que a algunos de torsión.

De hecho, $f(a) = a\otimes 1 = b\otimes \frac{1}{q}$ para algunos $b\in B, q\in \mathbb{N}_{>0}$. Por lo tanto, $qf(a) = b\otimes 1$ , de modo que $(qa,b) \in C$ y, por tanto, $qa\in \mathrm{im}\; p$, por lo que $a$ es de torsión en $\mathrm{coker}\; p$. Simétricamente, nos muestran que la $\mathrm{coker}\; q$ es de torsión.

Por lo tanto, $p,q$ se $\mathcal{C}$-isomorphisms, y $A,B$ se $\mathcal{C}$-isomorfos.

Usted puede divertirse por la generalización de eso y ver que $\mathcal{C}$-isomorfismo se comporta muy bien.