El límite de $\ln(1+\ln(2+\ln(3+...+\ln(n)))...)$

Question

¿Este límite: $$\lim_{n\to\infty}\ln(1+\ln(2+\ln(3+...+\ln(n)))...)$$

existen ? Y si sí, que valor tiene ?

Answer 1

Usted puede obtener una prueba de convergencia a lo largo de estas líneas: Demostrar por inducción sobre $k$ que, para todos los $n$, $$\ln(n+\ln(n+1+\ln(n+2+\cdots+\ln(n+k))))\le\sum_{j=0}^k\frac{n!}{(n+j)!}\ln(n+j).$$ El básico de la desigualdad que necesitará en el paso de inducción tiene la forma $$\ln(n+a)<\ln n+\frac an,$$ el que se aplica con $a=\ln(n+1+\ln(n+2+\cdots+\ln(n+k)))$.

Así, por $n=1$ consigue $$\ln(1+\ln(2+\ln(3+\cdots+\ln(k+1))))\le\sum_{j=0}^k\frac{1}{j!}\ln(j),$$ y la serie a la derecha claramente converge. La secuencia de la izquierda, por otro lado, es cada vez mayor, por lo que acotamiento implica la convergencia.

Answer 2

Pari/GP:

n=28
res=0
forstep(x=n,1,-1,res =log(x+res))
res
 %553 = 0.820359862208789788473466794941

No cambia en el visible dígitos, si $n$ furtherly es el aumento de...

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Es bueno invertir el procedimiento. Suponga $t_n$ es la evaluación de la anterior con algunos $n$ da, por lo $t_n \approx 0.82035986...$ a continuación, vamos a ver lo que sucede si queremos invertir la operación:

 t_n =res \\ save the result which we just got in a fixed variable
          \\ perform iteration on the inverse function
 x = t_n;for(k=1,n+3, x = exp(x)-k; print(x));

El resultado es:

1.27131705165
1.56554547884
1.78528449551
1.96127566254
2.10838918962
2.23496562706
2.34616059168
2.44538852642
...
3.41221000321
3.33220451018
-1.19274014861 E-170   \\ this is at iteration 28
-28.0000000000   \\ with small fractional parts exp(-k)
-30.0000000000   \\ ... 
-31.0000000000

Entonces, si asumimos algunos límite de $\lim_{n \to \infty} t_n$, con una adecuada $\delta_m$ si repetimos de $$x_0=t_\infty+\delta_m \\ x_k=\exp(x_{k-1})-k $$ some $x_m=0$, $x_{m+1}=-m$ se produce...

Answer 3

Vamos a poner una expresión similar donde nosotros realmente sabe la respuesta exacta. Digamos que la serie a partir del número $2$ tener el resultado de cada logaritmo de ser igual a la cantidad que se agrega a:

$$\ln(2+\ln(3.69 ...+\ln(20.11 ...+\ln(...))))$$

Podemos calcular cada término de esta expresión como:

$$t_{1}=2,\ t_{n}=\frac{\exp(t_{n-1})}{2}$$

Dado que este es un super-exponencial de la serie y la brecha entre los dos primeros términos es mayor que $1$ es seguro concluir que cada término de la serie es mayor que el mismo término en la serie de los números naturales.

Como el aumento de cualquiera de los términos en la expresión original sólo puede provocar que el valor resultante sea mayor, esta nueva expresión se puede utilizar para calcular una cota superior para la expresión original. Podemos en la expresión original, para $n\ge2$ reemplazar cualquier $n+\ln(...)$$2n$, para obtener un resultado que es mayor que la expresión original, y por lo tanto un útil límite superior. Par esto con el límite inferior de la sustitución de con $n$ y usted tiene una prueba de convergencia y de un método de cálculo de forma arbitraria precisa los límites superior e inferior.