Demostrando que para $x \ge 7$ , $x\# \ge x^2+x$

Question

Dejemos que $x\#$ sea el primorosa de $x$ .

Estoy tratando de demostrar que si $x \ge 7$ :

$$x\# \ge x^2+x$$

¿Existe un argumento directo?

Esto es lo que se me ocurrió:

(1) De El postulado de Bertrand para cualquier $x$ existe un primo $p$ tal que $x < p < 2x$

(2) Caso base: $7\# = 210 \ge (14)^2 + (14) = 210$

(3) Supongamos que para un primo $p \ge 7$ , $p\# \ge (2p)^2 + (2p)$

(4) Que $p+c$ sea el menor primo mayor que $p$ por lo que desde el paso 1 anterior, $2 \le c < p$

(5) $(2p+2c)^2 + 2(p+c) = (4p^2+2p+2c) + 8pc + 4c^2 < (4p^2 + 4p) + (8p^2 + 8p) + (4p^2 + 4p) < 2p\# + 4p\#+ 2p\# = (2+4+2)p\# < (p+c)p\#$

Answer 1

La idea es bastante buena, pero la solución me parece difícil de leer. Me limitaré a reformular sus ideas de forma más clara. 1) Afirmación: Basta con demostrar que $p\#\geq (2p)^2+2p$ para $p$ de primera.

En efecto, dejemos que $x$ cualquier número natural, entonces podemos encontrar $p_{n}\leq x<p_{n+1}$ . Por el postulado de Bertrand, tenemos $ p_{n+1}<2p_n$ . Por lo tanto, $$x\#=p_{n}\#\geq (2p_n)^2+(2p_n)\geq x^2+x.$$ 2) Vamos a demostrar la afirmación por inducción:

El caso p=7 es fácil de comprobar.

Supongamos que la hipótesis para $p_n$ , vamos a probarlo para $p_{n+1}$ : Recall $p_{n+1}\leq 2p_n$ . Entonces, tenemos $$ (2p_{n+1})^2+(2p_{n+1})\leq (4p_n)^2+4p_n\leq 4((2p_n)^2+(2p_n))\leq 4p_n\#\leq p_{n+1}\#$$ Que es lo que queríamos probar.