No sé si este resultado es verdadero o no. No he encontrado ninguna referencia al respecto. Deje $K/\mathbb F_q$ ser un campo de función definida sobre un campo finito. Es $Aut(K/\mathbb F_q)$ finito donde $Aut(K/\mathbb F_q)$ denota el conjunto de automorfismos de a$K$ que son la identidad en la $\mathbb F_q$. Todos los que he encontrado es sobre campo de función definida sobre un algebraicamente cerrado de campo. Así que cuando el género es $\ge2$ uno deduce que $Aut(K/\mathbb F_q)$ es finito. El género $0$ caso es fácil. Pero que no dice nada sobre el género $1$ caso. Cualquier referencia o prueba sería bienvenido para el género $1$ caso.
Respuesta
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$\newcommand{\End}{\mathrm{End}}$$\newcommand{\Aut}{\mathrm{Aut}}$Deje $C/\mathbb{F}_q$ ser un género $1$ curva. A continuación, el Hasse-Weil obligado implica que $C(\mathbb{F}_q)\ne \varnothing$. Así, podemos convertir a $C$ en una curva elíptica $E=(C,e)$ (es decir, estoy escoger el punto de $e\in C(\mathbb{F}_q)$).
Nota luego de que
$$\End(C)=C(\mathbb{F}_q)\rtimes\End(E)$$
donde $C(\mathbb{F}_q)$ hechos por las traducciones. De hecho, si $f:C\to C$ es cualquier endomorfismo, a continuación, $f(e)\in C(\mathbb{F}_q)$ e lo $t_{-f(e)}\circ f$ tarda $e$ a $e$ , así que es un endomorfismo de $E$.
Así, vemos que
$$\Aut(C)=C(\mathbb{F}_q)\rtimes \Aut(E)$$
Así que tu pregunta es: "Es $\Aut(E)$ finito?".
Como es bien sabido, $\End(E)$ puede ser de tres cosas sobre las $\mathbb{F}_q$:
- $\mathbb{Z}$
- Una orden en un imaginario cuadrática extensión de $F/\mathbb{Q}$
- Una orden en un (cierto) el álgebra de cuaterniones $D/\mathbb{Q}$.
En el primero de los dos casos vemos que sus unidades son finitos (por Dirichlet unidad del teorema). En el último caso podemos ver que $\Aut(E)$ es también finito, pero esto requiere más trabajo. De hecho, si usted trabaja a través de los detalles de la $|\Aut(E)|\mid 24$ (por ejemplo, véase Teorema 10.1 de Silverman libro sobre curvas elípticas).
Por supuesto, mientras que el resultado que se declaró por género, $\geqslant 2$ no es un pecularity de campos finitos, el resultado de género $1$ es. En general, usted tiene que si $C$ es un género $1$ curva de más de $k$ con $k$- , $\Aut(C)$ se parece a $C(k)\rtimes G$ donde $G$ finito. En particular, si $k$ es infinito, $C(k)$ e lo $\Aut(C)$ son infinitas.
