¿Se pueden considerar las raíces como una operación aritmética repetida?

Question

La multiplicación se puede considerar como una suma repetida, en la que sumamos algo un determinado número de veces.

La división puede considerarse como una sustracción repetida, en la que restamos algo del dividendo un cierto número de veces hasta obtener un cero o un resto.

Los exponentes pueden considerarse como una multiplicación repetida.

Las raíces... ¿Se pueden considerar las raíces como una división repetida? No veo cómo. ¿Puede pensarse como una repetición de cualquier ¿Función aritmética? No lo veo.

Por ejemplo, $\sqrt[3]{5} = 5 \div 3 \div 3 \div 3 ...$ ?? No, no funciona.

Perdona si esta es una de esas preguntas filosóficas abstractas sobre matemáticas, pero me resulta muy curiosa.

La pregunta es: ¿se pueden considerar las raíces como una repetición de cualquier operación aritmética?

Answer 1

Aritmética elemental consiste en las operaciones $+$ , $-$ , $\times$ , $\div$ y tienes razón en que puedes emparejarlas para que una operación haga lo contrario de la otra; es decir, el par $+,-$ y el par $\times, \div$ . También se pueden emparejar los análogos, es decir $+,\times$ y $-,\div$ . Esto es más evidente cuando sólo se trata de números enteros, ya que $m\times n=m+m+\cdots+m$ ( $n$ veces) $=n+n+\cdots+n$ ( $m$ veces), y $m\div n=m-n-n-\cdots-n$ hasta llegar al mínimo número entero no negativo.

Pero $-,\div$ no son conmutativos, a diferencia de $+,\times$ , ya que $m\div n\ne n\div m$ en general. La multiplicación repetida en la exponenciación tiene sentido como $m^a=m\times m\times \cdots\times m$ ( $a$ veces) y no importa cómo se ponga entre paréntesis cada operando, se obtendrá el mismo resultado. Una dificultad de la división repetida se debe a su no conmutatividad: la expresión $a\div b\div c$ es ambiguo sin el uso de paréntesis, y esto es antes de llegar a los radicales.

Puedes pensar en las raíces como lo opuesto a la exponenciación; es decir, para qué valor de $m$ ¿es cierto que $m^a=n$ ? Es decir, en un sentido entero, es el valor de $m$ tal que si se multiplica $a$ veces que se obtiene $n$ . Es imposible dividir nada en $$m\times m\times\cdots\times m=n$$ para encontrar $m$ ¡! Sin embargo, el hecho de que la exponenciación y los radicales tengan el efecto contrario no significa que puedan definirse como el uso repetido de la inversa de las operaciones intrínsecas ( $\times$ y $\div$ ). Si no, se puede ir más allá, ya que para los enteros, $\times$ está intrínsecamente ligada a la adición, seguramente las raíces pueden hacerse utilizando la sustracción.

Ahora preguntas si los radicales se pueden escribir sólo en términos de operaciones aritméticas elementales. Consideremos el número irracional $\sqrt2$ que satisface la ecuación $m^2=2$ . Es evidente que no puede consistir en una combinación finita de tales operaciones, ya que esto implicaría que $\sqrt2$ es racional. Sin embargo, es posible expresarlo como una serie infinita, formada por las operaciones utilizadas infinitas veces: $$\sqrt2=1+\frac{4}{10}+\frac{1}{10\times 10}+\frac{4}{10\times 10\times 10}+\cdots$$ y también se puede expresar a través de fracciones continuas, que no vamos a detallar aquí. Y es por este medio que podemos obtener aproximaciones, ya que nunca podemos llegar a cada dígito decimal de un número irracional.

Answer 2

Sí y no. Sí, algunas raíces son tan sencillas como adivinar, dividir por la conjetura, la media aritmética (división por 2 para 2 números) tomada como nueva conjetura, repetir. literalmente la división repetida después de la conjetura inicial. Esto se llama la Método babilónico Sin embargo, no todas las raíces son tan fáciles.