¿Cuál es la forma correcta de resolver la ecuación:$x^4-x^3+x^2-x+1=0$

Question

Dada la ecuación: $x^4-x^3+x^2-x+1=0$ necesitamos encontrar tanto en su real y raíces complejas. ¿Cuál es el más fácil y el método correcto para la solución de la ecuación?

Aquí está mi enfoque, pero da mal resultado en la final. Puesto que la ecuación es simétrica podemos agrupar los términos.

$$x^4+1 - (x^3+x)+x^2=0 \text{ Divide everything by } x^2 \\(x^2+\frac{1}{x^2})-(x+\frac{1}{x})+1=0\\ \text{ Let } t = x + \frac{1}{x}, \text{ we can see that } x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2 \\ \text{back in our equation: } t^2 - 2 - t + 1 = 0 \\ t_{12} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} \\ \text{however if we go back in } x+\frac{1}{x} = t_{12} \text{ we don't get the correct result }$$.

Como se indica en el libro de texto las soluciones son: $x_{12}=\frac{1+\sqrt5 \pm \sqrt{10-2\sqrt5}}{4}, x_{34}=\frac{1-\sqrt5 \pm \sqrt{10-2\sqrt5}}{4}$ Puede alguien decir si esas son las soluciones correctas o no?

Answer 1

Las soluciones en su libro de texto está equivocado; se puede conectar a comprobarlo usted mismo.

La forma más fácil de resolver es tener en cuenta que si $x\neq-1$luego $$\frac{x^5+1}{x+1}=x^4-x^3+x^2-x+1,$$ y así que la escritura $x=re^{\theta i}$ rápidamente los rendimientos $r=1$ e $\theta=\tfrac k5\pi$ con $k$ impar.

Su enfoque también está bien; usted consigue las mismas soluciones, mediante la resolución de los dos cuadráticas $$x+\frac1x=\frac12\pm\frac{\sqrt{5}}{2}.$$