¿Problemas elementales que habrían sido difíciles para los matemáticos del pasado, pero que hoy son fáciles de resolver?

Question

Busco problemas que, debido a los avances modernos de las matemáticas, hoy en día se reducirían a un cálculo de memoria o al menos a un ejercicio en un libro de texto, pero que a los matemáticos del pasado (incluso a los famosos y grandes como Gauss o Riemann) les habrían resultado difíciles.

Algunos ejemplos que me vienen a la mente son _problemas de pruebas en grupo_ que serían difíciles de resolver sin una noción de códigos de corrección de errores, y -para matemáticos aún más antiguos- cuestiones de cálculo como calcular el área de algún $n$ -cuerpo dimensional.

Las preguntas tienen que ser comprensibles para los matemáticos mayores y elementales en algún sentido. Es decir, los matemáticos del pasado deberían poder apreciarlas tan bien como nosotros.

Answer 1

Yo diría que calcular los coeficientes de Fourier de una función domada es una trivialidad hoy en día, incluso a un nivel de matemáticas de ingeniería 101.

Ph. Davis y R. Hersh contar la larga y dolorosa historia de las series de Fourier. Cito de su libro:

"Fourier no sabía que Euler ya lo había hecho, así que lo repitió. Y Fourier, como Bernoulli y Euler antes que él, pasó por alto el bello método directo de la ortogonalidad [...]. En su lugar, realizó un cálculo increíble, que podría servir como ejemplo clásico de perspicacia física que conduce a la respuesta correcta a pesar de un razonamiento flagrantemente erróneo."

(Quinto cap. "Análisis de Fourier".)

Answer 2

Que existen números trascendentales. Esto fue demostrado por primera vez por Liouville, quien demostró que el número de Liouville: $$\sum_{i=0}^\infty10^{-i!}$$ es trascendental.

La prueba "moderna" se debería a Cantor:

Hay un número contable de números algebraicos y un número incontable de reales. Por lo tanto existe un número trascendental.

Demostrar que el número de Liouville es trascendental no es tan difícil, pero comparado con lo anterior parece bastante tortuoso.

Answer 3

Este teorema de la suma de cuadrados de Fermat puede servir de ejemplo:

Un impar prime $p$ es expresable como la suma de cuadrados $x^2+y^2$ sólo si $p\equiv 1 \text{ mod } 4$ .

Puede leer este artículo de Wikipedia (a partir de la actualización más reciente de esta respuesta) para ver la diferencia de esfuerzo mental en la prueba original de Euler, frente a un tratamiento moderno que utiliza el hecho de que los enteros de Gauss son un dominio euclidiano.

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Un doble ejemplo: Creo que Brouwer estaría asombrado y encantado de saber que el teorema del punto fijo de Brouwer ahora se puede demostrar para el simplex (y, con más esfuerzo, para los politopos convexos) con absolutamente ningún conocimiento de topología; sólo un poco de geometría afín y la intuición combinatoria para demostrar Lemma de Sperner y análisis básicos para trasladarlos al ámbito continuo.

Sigue sin ser una prueba "fácil", pero es un ejemplo de un problema clásico que ahora podemos resolver con bastante facilidad. menos maquinaria, en lugar del ejemplo anterior, cuya facilidad de prueba puede atribuirse a más maquinaria.

Answer 4

En el siglo XIX expresar la antiderivada de una función elemental como una función elemental era un problema abierto.

Hoy en día, Algoritmo Risch , que puede ejecutarse en máquinas, decide si dicha operación puede realizarse y, en caso afirmativo, arroja una versión del resultado correcta.

No puedo hablar por los matemáticos del pasado, pero creo que es una herramienta útil.

Añadido : @columbus8myhw hizo una observación técnica muy importante en los comentarios, que también se explica en la última parte del artículo de wikipedia.