Probar o refutar $12\mid x$ dado $x^2+2\mid y^2-2$

Question

Dejemos que $x$ , $y$ sean enteros positivos tales que $x^2+2\mid y^2-2$ . Demostrar o refutar que $12\mid x$ .

Esta conclusión llega cuando estaba tratando otro problema, y me parece acertada porque cuando $x=12$ y $y=32$ , $$\frac{32^2-2}{12^2+2}=7.$$

Permítanme explicar el origen de este ejemplo cuando $x=12$ puede considerar $\sqrt{146k+2}\in \Bbb Z$ , trato de $k=1,2,\cdots$ cuando $k=7$ es tal que

pero cuando $x=24$ No puedo encontrar $y\le 48$ ningún ejemplo tal, porque quiero encontrar $k$ tal $\sqrt{478k+2}\in \Bbb Z$

Answer 1

Si $3\nmid x$ entonces $$ x^2\equiv 1\pmod 3\implies x^2+2\equiv 0\pmod 3$$ así que $$ 3\mid y^2-2$$ lo que significa $2$ es un cuadrado módulo 3. Pero esto no se cumple así que $3\mid x$ .

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Si $x$ es impar, entonces $x^2+2 = 4k(k+1)+3$ por lo que existe un primo $p= 8l\pm 3$ tal que $p\mid x^2+2$ pero luego $p\mid y^2-2$ y esto no es cierto ya que por los símbolos de Legendre tenemos $$\Big({2\over p}\Big) = (-1)^{p^2-1\over 8} =-1 $$

Así que $2\mid x$ .

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Añadido después de Mike Bennett comentario. Así que si $x=4k+2$ entonces $$ x^2+2\equiv 6\pmod 8$$ así que de nuevo tenemos $p= 4l+3$ tal que $p\mid x^2+2$ Así que $-2$ es un cuadrado módulo $p$ . Pero como $p\mid y^2-2$ , número $2$ también es un cuadrado módulo $p$ por lo que tenemos $$\Big({2\over p}\Big)= 1$$

Como el símbolo de Legendre es multiplicativo tenemos: $$ 1= \Big({-2\over p}\Big) =\Big({2\over p}\Big)\cdot \Big({-1\over p}\Big) = 1\cdot (-1)^{p-1\over 2}= -1$$ Una contradicción. Así que $4\mid x$ y hemos terminado.