El arte de la prueba que resume. ¿Existen reglas conocidas, o es un asunto puramente de sentido común?

Question

Cuando una prueba es larga y difícil, puede ser muy agradable para el lector dar un resumen o un resumen de la deducción antes de comenzar el trabajo duro.

¿Existen reglas conocidas para dar un buen resumen de la prueba?

¿Hay reglas conocidas para encontrar qué punto enfatizar en un resumen de prueba? Me refiero a las reglas para encontrar el "nervus probandi".

Answer 1

Estoy de acuerdo con los comentaristas que esta es una pregunta difícil de responder, y lo escribo aquí puede ser sólo una respuesta parcial. No he encontrado ningún conjunto de directrices para resumir una prueba matemática, pero en general es el mismo que se utiliza para resumir grandes o tema complejo, que puede ser aplicado. (Si usted está interesado en una demostración matemática, en particular, es posible que desee buscar en https://www.math.wustl.edu/~sk/eolss.pdf que es una historia de la prueba matemática escrito por Steven Krantz.)

Un buen resumen le dice al lector qué esperar de la historia(la prueba) que sigue, debe resaltar cualquier de los conocimientos necesarios, y debe motivar al lector a hacer el esfuerzo para seguir el argumento. Si usted mira la Bourbaki estilo de la prueba, por ejemplo, a menudo hay nada de esto -- un teorema se da y está demostrado y es al lector a contextualizar, de vincular a los trabajos anteriores y los conocimientos y encontrar un motivo para recordar. Sin embargo, si nos fijamos en algunos de Steven Krantz libros usted encontrará que, en realidad, él pasa la mayor parte de un capítulo de la motivación y de explicar las ideas, y relega la real prueba matemática para el final del capítulo -- la completa antítesis de un Bourbaki prueba.

Para escribir un buen resumen el autor debe entender completamente el material de: de hecho, ser capaz de resumir una prueba bien es una buena indicación de que el autor ha entendido correctamente. Si en algún momento el autor se encuentra agitando sus manos, o quitar importancia a un detalle, las posibilidades son que existe algo que ellos mismos no tienen claro en su propia mente.

Como ejemplo a continuación: considerar la incondicional de cálculo conferencias, el Teorema del Valor Intermedio. Esto nos dice que si tenemos una función continua definida en un conjunto contiguo (un 'intervalo cerrado') de puntos, y un extremo es menor que cero, mientras que el otro es mayor que cero, entonces existe un punto dentro de ese intervalo donde el valor de la función es cero. Esto está muy bien resumido diciendo: "la gráfica de una función continua no tiene roturas en ella". Esto sugiere inmediatamente una manera de empezar a pensar en ello (dibujar un gráfico), se conecta a otras cosas que el lector ya conoce (cómo hacer una gráfica de una función), y pone de relieve que el lector debe saber lo que es una función continua es antes de continuar.

EDIT: ruakh señala en los comentarios que he resumido el teorema y no la prueba, por lo que me disculpo. Para resumir la prueba, entonces:

Desde $f$ es negativa en algunos puntos y positivo en los demás, y es continua, se puede demostrar que el supremum de el conjunto de los puntos negativos es tanto $0$ y se logra por $f$. $0$ aquí juega un papel fundamental, por lo que podemos esperar que nos podemos encontrar en los puntos donde $f(x)=c$ considerando $f(x)-c$, y que podemos encontrar raíces de polinomios mediante la búsqueda de puntos de $a$ e $b$ con $f(a)<0$ e $f(b)>0$ (que podría llevarnos a la interseccion método).

Esto se consigue con nuestros objetivos resumiendo: sabemos qué esperar vienen (el estudio del conjunto de $\{x: f(x)<0 \}$); sabemos que tenemos que saber lo que es una supremum es, y podemos ver cómo podemos usar esto en el futuro.