Regresión donde la variable dependiente es la diferencia entre dos variables correlacionadas: sesgo y otras cuestiones a considerar

Question

Estoy interesado en la estimación de una regresión que se parece a esto:

$(x_{1,i} - y_{i} )_{i} = x'_{i}*\beta + \epsilon_{i}$ (1)

Sin embargo, no estoy seguro de si hacerlo-de esta forma-es apropiado. La razón de esto es que el $y_{i}$ $x_{1,i}$ están correlacionados. Dicho de otra manera, $x_{1,i}$ es una importante variable explicativa de $y_{i}$, lo que comúnmente se calcula utilizando la siguiente lineal (o a veces el uso de un log-lineal) de regresión:

$y_{i} = \beta_{0} + \beta_{1}*x_{1,i} + \beta_{2}*x_{2,i} + \beta_{3}*x_{3,i} + \epsilon_{i}$ (2)

Mi forma de pensar (y por favor corríjanme si me equivoco) es que en el fin de interpretar los resultados de la regresión (1) correctamente tendría que reescribir los en (2) como sigue:

$(y_{i} - x_{1,i}) = \beta_{0} + (\beta_{1} - 1)*x_{1,i} + \beta_{2}*x_{2,i} + \beta_{3}*x_{3,i} + \epsilon_{i}$

donde $u_{i} = ((\beta_{1} - 1)*x_{1,i} + \epsilon_{i})$

El FIB

$(x_{1,i} - y_{i}) = (-1)*(\beta_{0} + \beta_{2}*x_{2,i} + \beta_{3}*x_{3,i} + u_{i})$

Como tal, en la ejecución de (1) I necesidad de preocuparse acerca de: (i)la posible endogeneidad debido a la posibilidad de que el $(\beta_{1} - 1)*x_{1,i}$ plazo en $u_{i}$ se correlaciona con el resto de regresores; y (ii) necesito para multiplicar los coeficientes de (1) por $-1$ con el fin de obtener el signo apropiado?

Answer 1

No hay problema aquí. Si aceptamos que la especificación

$$y_{i} = \beta_{0} + \beta_{1}x_{1,i} + \beta_{2}x_{2,i} + \beta_{3}x_{3,i} + \epsilon_{i} \tag{1}$$

es correcto, entonces la transformación, mediante la sustracción de un regresor de la variable dependiente,

$$(y_{i} - x_{1,i}) = \beta_{0} + (\beta_{1} - 1)x_{1,i} + \beta_{2}x_{2,i} + \beta_{3}x_{3,i} + \epsilon_{i} \tag{2}$$

es equivalente a la especificación

$$z_i = \beta_{0} + \gamma_1 x_{1,i} + \beta_{2}x_{2,i} + \beta_{3}x_{3,i} + \epsilon_{i} \tag{3}$$

con $z_i \equiv y_{i} - x_{1,i}$$\gamma_1 \equiv \beta_{1} - 1$, lo que simplemente significa que si estimamos $(3)$ los obtenidos de la estimación de $\hat \gamma_1$ será la estimación de $\beta_1-1$ e no $\beta$, mientras que todos los demás coeficientes estimados serán numéricamente el mismo con los que se obtendrían a partir de la especificación de $(1)$.

No hay problema de endogeneidad que surge, y ninguna otra transformación se convierte en necesario.