Definición de suma de subespacios.

Question

La definición de suma de subespacios en Axler Sheldon libro "Álgebra Lineal se Hace la Derecha" es:

La suma de $U_1,\dots,U_m,$ denotado $U_1+\cdots+U_m$, se define como el conjunto de todas las posibles sumas de los elementos de $U_1,\dots,U_m$. Más precisamente, $$U_1 + \cdots + U_m = \{u_1 + \cdots + u_m : u_1 \in U_i,\dots, u_m \in U_m\}.$$

Justo después de la definición, se brinda el siguiente ejemplo:

Supongamos $U$ $W$ son subespacios de $F^3$ dada por $$ U = \{(x,0,0) \in F^3 : x \in F\} \text{ and } W = \{(0,y,0)\in F^3: y \in F\}.$$ a continuación,\begin{equation}\tag{1}\label{1}U+W = \{(x,y,0) : x,y \in F\}.\end {equation} A continuación, vamos a $V$ ser $$V = \{(y,y,0)\in F^3: y \in F\}.$$ the book says that $U+V$ is still given by equation \eqref{1}. I am confused with the previous statement, as I would expect that $U+V = \{(x+y,y,0):x,y\in F\}.$ Agradecería una explicación de este ejemplo.

Answer 1

Tiene razón en que si aplica directamente la definición, entonces$U+V = \{(x+y,y,0):x,y\in F\}$. Sin embargo,$\{(x,y,0):x,y\in F\}$ y$\{(x+y,y,0):x,y\in F\}$ son el mismo conjunto. Dado cualquier$(x,y,0)$ en el primer conjunto, si permitimos que$z=x-y$ entonces$(x,y,0)=(z+y,y,0)$ entonces también se encuentre en el segundo conjunto. Y dado cualquier$(x+y,y,0)$ en el segundo conjunto, si permitimos que$z=x+y$ entonces$(x+y,y,0)=(z,y,0)$ también esté en el primer conjunto.

Answer 2

la base de$U$ es$(1,0,0)$ y la base de$V$ es$(1,1,0)$. y la base de$U+V$ es$\{(1,0,0), (1,1,0)\}$ que es linealmente equivalente a (la base de$U+V$ también se puede expresar como)$\{(1,0,0), (0,1,0)\}$.