estoy aprendiendo matemáticas, de modo rápido aquí en el MSE, gracias tanto por estar aquí para ayudarnos!
así que ahora, mi siguiente paso hacia el dominio: :).
estoy tratando de demostrar que $\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}\leq\frac{1}{k!}$$n\geq1$, y para todos los $k\in\Bbb{N}$. Mi primer problema es que yo nunca he tratado de demostrar que un enunciado con la inducción donde tengo dos dependencias. aquí $n$$k$.
la inducción de la base: $n=1$ y $k=1$. $\binom{1}{1}\frac{1}{1^1}\leq\frac{1}{1!}$ lo cual está bien.
inductivo hipótesis: para$n\geq1$, y para todos los $$k\in\Bbb{N},~~\binom{n}{k}\frac{1}{n^k}\leq\frac{1}{k!}$$
1)primer paso de inducción: $$n\rightarrow n+1~~ \text{and}~~ k,\binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^{k}}\leq\frac{1}{(k)!}$$
2)segundo paso de inducción: $n$ $$k\rightarrow k+1,~~\binom{n}{k+1}\frac{1}{(n)^{k+1}}\leq\frac{1}{(k+1)!}$$
1)$$\binom{n+1}{k}\frac{1}{(n+1)^{k}}=\Bigg(\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\Bigg)\frac{1}{(n+1)^{k}} =\\ \binom{n}{k}\frac{1}{(n+1)^{k}} + \binom{n}{k-1}\frac{1}{(n+1)^{k}} \leq \frac{1}{(k)!}$$
2) Ayuda.
Estoy teniendo tiempo duro para demostrar aún más en los cálculos, puede usted los pls me muestre más? es la 1) a la derecha? no estoy seguro
