¿Cómo determinar la periodicidad del registro complejo en diferentes bases?

Question

¿Cómo se determina el "período" de un logaritmo complejo como función multivaluada en una base arbitraria (real o compleja)?

Pido disculpas de antemano si mi terminología es incorrecta, pero permítanme ilustrar de qué estoy hablando. Tomemos $log_e(z)$ para cualquier número complejo (distinto de cero) $z$ :

• $log_e(-1) = \pi i + n2\pi{i}$ para cualquier número entero $n$
• $log_e(2 + 4i) = 1.498 + 1.107 + n2\pi{i}$ para cualquier número entero $n$

Así que $log_e(z)$ es periódico en $2\pi{i}$ . Comprendo que esto surja con $log_e$ debido a $z = re^{i}$ pero no sé cómo determine esto.

Concretamente: ¿cómo puedo calcular esto para una base arbitraria $b$ en $log_b(z)$ ? ¿Es más fácil si $b$ ¿es un número positivo mayor que 1? ¿Y cuando $b$ es un número complejo arbitrario?

He probado a empezar con $log_b(z) = log_e(z)/log_e(b)$ y expandiendo todo y como que obtengo una respuesta jugando con los resultados y probando contra cálculos numéricos en la computadora, pero siento que tiene que haber una ecuación bonita, simple, de forma cerrada para calcular esto. Probablemente me estoy perdiendo algo obvio, pero no sé lo que es.

EDIT: Revisando mis intentos, lo que tengo hasta ahora:

• Dada: $z = re^{i}$ , $log_e(z) = log_e(r) + i + n2\pi{i}$ $\forall n \in Z$
• Entonces: $log_b(z) = log_e(z)/log_e(b) = (log_e(r) + i)/log_e(b) + (n2\pi{i})/log_e(b)$ $\forall n \in Z$
• La periodicidad sería el último término anterior $2\pi{i}/log_e(b)$ . Esto no parecía ser siempre correcto ... pero ver mi respuesta a continuación.

Answer 1

Con la ayuda del comentario de Robert, creo que he trabajado con fuera:

• Dada: $z = re^{iθ}$ , $log_e(z) = log_e(r) + iθ + n2\pi{i}$ $\forall n \in Z$
• Entonces: $log_b(z) = log_e(z)/log_e(b) = (log_e(r) + iθ)/log_e(b) + (n2\pi{i})/log_e(b)$ $\forall n \in Z$
• La periodicidad sería el último término anterior $2\pi{i}/log_e(b)$

Esto no siempre salía bien, así que pensé que lo había estropeado. Sin embargo, Robert señaló correctamente en su comentario que $log_b(z)$ no es punto -- es $b^z$ que es periódica. Aunque esto ya lo sabía (aunque todavía no sé cómo llamar a una función que es periódicamente multivaluada en su rango, en lugar de simplemente periódica), cometí un error relacionado con esto al intentar verificar mis resultados, suponiendo que $b^{log_b(z)} = log_b(b^z)$ en todos los casos.

De nuevo, probablemente no estoy utilizando la terminología correcta, pero la respuesta a mi pregunta parece ser:

$result\_periodicity\_for\_log_b(b) = 2\pi{i}/log_e(b)$ para cualquier número complejo de base $b$ .