Supongamos que $K$ es una extensión finita de $\mathbb{Q}$ . Supongamos que hay algunos número complejo en $K$ . ¿Es necesario que $\tau$ , conjugación compleja, es un miembro de $\text{Aut}(K/\mathbb{Q})$ ?
Siento que esto debería ser cierto, pero considera $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + i\sqrt{3})$ . Ni siquiera estoy seguro de si $\sqrt{2} - i\sqrt{3}$ es en este campo.
No necesariamente. Considere la extensión de $\mathbb{Q}$ por $\alpha = \sqrt[3]{2}\cdot \zeta $ , donde $\zeta$ es una raíz cúbica primitiva de la unidad. Entonces $\alpha$ es una raíz cúbica no real de $2$ .
Demostremos que $\mathbb{Q}(\alpha)$ no es estable bajo la conjugación compleja. En efecto, tenemos que $$ \overline{\sqrt[3]{2}\cdot \zeta} = \sqrt[3]{2}\cdot \zeta^2, $$ por lo que si $\mathbb{Q}(\alpha)$ fueran estables bajo conjugación, tendríamos que las tres raíces cúbicas de $2$ $$\sqrt[3]{2}\cdot \zeta, \sqrt[3]{2}\cdot \zeta^2, \sqrt[3]{2} = -\sqrt[3]{2}\cdot \zeta-\sqrt[3]{2}\cdot \zeta^2$$ sería en $\mathbb{Q}(\alpha)$ y $\mathbb{Q}(\alpha)$ sería una extensión de Galois de $\mathbb{Q}$ . Sin embargo, sabemos que no lo es.
Por lo tanto, $\overline{\alpha}$ no está en $\mathbb{Q}(\alpha)$ .
Añadido: Obsérvese, como ha señalado Qiaochu Yuan, que la afirmación es cierta si $K$ es una extensión de Galois de $\mathbb{Q}$ . Una forma de ver esto es ver $K$ como el campo de división de un polinomio $F$ con coeficientes en $\mathbb{Q}$ . Dado que el conjugado de una raíz de $F$ sigue siendo una raíz de $F$ , obtenemos que $K$ es estable bajo conjugación, y como $K$ contiene (por hipótesis) un elemento no real, obtenemos que la conjugación es un automorfismo no trivial de $K$ .
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