Calculando $\lim_{n \rightarrow \infty} n^2 \int_0^{2n} e^{-n \vert x-n \vert} \log \left[ 1+ \frac{1}{x+1} \right]dx$

Question

Quiero mostrar que

$$\lim_{n \rightarrow \infty} n^2 \int_0^{2n} e^{-n \vert x-n \vert} \log \left[ 1+ \frac{1}{x+1} \right]dx=2.$$

La razón por la que creo que este es el límite es porque si hacemos la sustitución $y = n(x-n)$, entonces obtenemos

$$ \int_{-n^2}^{n^2} e^{-\vert y \vert} \log \left[ \left( 1 + \frac{n}{n^2+n+y} \right)^n \right] dx. $$

Entonces, si puedo demostrar que $ \lim_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{n}{n^2+n+y} \right)^n = e$, la convergencia dominada debería dar el resto. Ciertamente tenemos

$$\limsup_{n \rightarrow \infty} \left( 1 + \frac{n}{n^2+n+y} \right)^n \leq e$$

¿Existe alguna manera de obtener la desigualdad inversa para el $\liminf$?

Answer 1

$$ \begin{align} &n^2\int_0^{2n}e^{-n|x-n|}\log\left(1+\frac1{x+1}\right)\,\mathrm{d}x\\ &=n^2\int_{-n}^ne^{-n|x|}\log\left(1+\frac1{x+n+1}\right)\,\mathrm{d}x\tag{1}\\ &=n\int_{-n^2}^{n^2}e^{-|x|}\log\left(1+\frac1{x/n+n+1}\right)\,\mathrm{d}x\tag{2}\\ &=n\int_{-n}^{n^2}e^{-|x|}\log\left(1+\frac1{x/n+n+1}\right)\,\mathrm{d}x\tag{3a}\\ &+n\int_{-n^2}^{-n}e^{-|x|}\log\left(1+\frac1{x/n+n+1}\right)\,\mathrm{d}x\tag{3b}\\ \end{align} $$ Explicación:
$(1)$: substituir $x\mapsto x+n$
$(2)$: substituir $x\mapsto x/n$
$(3)$: dividir la integral en $x=-n$
$\hphantom{(3)\text{:}}$ en $\text{(3a)}$, $n\log\left(1+\frac1{x/n+n+1}\right)\le \log\left(1+\frac1n\right)^n\le\log(e)=1$
$\hphantom{(3)\text{:}}$ en $\text{(3b)}$, $n\log\left(1+\frac1{x/n+n+1}\right)\le n\log(2)$ y $\int_{-n^2}^{-n}e^{-|x|}\,\mathrm{d}x\le e^{-n}$

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Por lo tanto, por Convergencia Dominada, tomando el límite de $\text{(3a)}$, $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}n\int_{-n}^{n^2}e^{-|x|}\log\left(1+\frac1{x/n+n+1}\right)\,\mathrm{d}x &=\int_{-\infty}^\infty e^{-|x|}\,\mathrm{d}x\\[6pt] &=2\tag{4} \end{align} $$ ya que $\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac1{x/n+n+1}\right)^n=e$.

Además, por las estimaciones dadas en la Explicación anterior, $$ \begin{align} \lim_{n\to\infty}n\int_{-n^2}^{-n}e^{-|x|}\log\left(1+\frac1{x/n+n+1}\right)\,\mathrm{d}x &\le\lim_{n\to\infty}ne^{-n}\log(2)\\ &=0\tag{5} \end{align} $$ Sumando $(4)$ y $(5)$, obtenemos $$ \bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\lim_{n\to\infty}n^2\int_0^{2n}e^{-n|x-n|}\log\left(1+\frac1{x+1}\right)\,\mathrm{d}x=2}\tag{6} $$

Answer 2

Para responder a tu última pregunta : $$n\ln\left(\frac{n}{n^2+n+y}\right)=n\frac{n}{n^2+n+y}+O\left(n^{-1}\right)$$ cuando $n\gg 1$, y $$\lim_{n\to+\infty}\frac{n^2}{n^2+n+y}=1.$$ Ahora toma el exponencial para obtener $\mathrm{e}$ como límite.