Recientemente me he encontrado con lo siguiente.
Deje $n < m$. Entonces la integral
$$\int\limits_0^\infty {\frac{{{x^{n-1}}}}{{1 + {x^m}}}} dx$$
converge y su valor es (usando el $B$ $\Gamma$ función de resolver)
$$\int\limits_0^\infty {\frac{{{x^{n - 1}}}}{{1 + {x^m}}}} dx = \frac{\pi }{m}\csc \frac{{n\pi }}{m}$$
Deje $0 < a = \dfrac{n}{m}$. Entonces
$$\frac{1}{m}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{e^{at}}}}{{1 + {e^t}}}} dt = \int\limits_0^\infty {\frac{{{x^{n - 1}}}}{{1 + {x^m}}}} dx$$
Y por último, por medio de una serie infinita tenemos que
$$\int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{{{e^{at}}}}{{1 + {e^t}}}} dt = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{a - k}}} $$
Por lo tanto esto debe demostrar que
$$\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{a - k}}} = \frac{1}{a} + 2a\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{a^2} - {k^2}}}} = \frac{\pi }{{\sin \pi a}}$$
Hasta qué punto puede este resultado debe ser aceptado? He estado leyendo acerca de la serie me pareció el resultado se deriva de fracciones parciales métodos en el complejo de análisis, o por el análisis de Fourier, pero en este caso, asumiendo $0 < a < 1$ es suficiente para mostrar la convergencia por tanto, no hay ningún problema y que los métodos utilizados son algo elemental en comparación con el titan de análisis complejo. Mi principal preocupación es que el resultado parece ser "limitado" por la presunción de que $0 < a < 1$, pero en el análisis complejo parece
$$\frac{1}{z} + 2z\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{z^2} - {k^2}}}} = \frac{\pi }{{\sin \pi z}}$$
es mucho "más fuerte" resultado ya que se cumple para cualquier $z$ por lo que la serie tiene sentido.
