Producto tensorial de transformaciones lineales.

Question

Si $U$ $V$ son finito-dimensional espacios vectoriales, a continuación, $U^*\otimes V^* \approx (U \otimes V)^*$ mediante el isomorfismo $\tau: U^*\otimes V^* \to(U \otimes V)^*$ dada por $\tau(f \otimes g)(u \otimes v) = f(u)g(v)$.

Y más en general la transformación lineal $\theta: \mathcal{L}(U,U') \otimes \mathcal{L}(V,V') \to \mathcal{L}(U \otimes V, U' \otimes V')$ definido por $\theta(\tau \otimes \sigma) = \tau \odot \sigma$ donde $(\tau \otimes \sigma)(u \otimes v) = \tau(u) \otimes \sigma(v)$ es una transformación lineal inyectiva y es un isomorfismo si todos los espacios vectoriales son finito-dimensional.

En la prueba de estos lo que exactamente va mal para infinitas dimensiones espacios vectoriales, de modo que la transformación lineal no es surjective.

Un ejemplo que muestra no surjective también sería apreciada.

Answer 1

Deje que$V$ sea un espacio vectorial de dimensión infinita sobre$k$. Deje que$W$ sea la imagen de

PS

Identifiquemos estos objetos y este mapa con

PS

Supongamos que$$\mathcal L(V, k)\otimes \mathcal L(k,V) \to \mathcal L(V \otimes k, k\otimes V).$ está en$$V^\vee \otimes V \to \mathcal L(V, V).$. Demuestre que$f : V \to V$ es de dimensión finita. En particular, el mapa de identidad de$W$ no está en$f(V)$.